如圖,在等邊三角形
ABC中,P是BC上的任意一點,線段AP的垂直平分線分別交AB、AC于點M、N.求證:
BP·CP=BM·CN.
分析:要證明 BP·CP=BM·CN,即證明=.連接PM、PN,顯然線段BP與BM是△BPM的兩條邊,線段CN與CP是△CNP的兩條邊.所以,我們只需證明△BPM∽△CNP即可.證明:連接 PM、PN.因為 MN是AP的垂直平分線,所以MA=MP,NA=NP.所以∠ MPA=∠MAP,∠NPA=∠NAP.所以∠ MPN=∠MPA+∠NPA=∠MAP+∠NAP=∠MAN=60°.所以∠ BPM+∠CPN=180°-∠MPN=120°.因為∠ BPM+∠BMP=180°-∠B=120°,所以∠BMP=∠CPN.又因為∠ B=∠C=60°,所以△BPM∽△CNP.所以 =.所以BP·CP=BM·CN.點評:在題設(shè)的圖形中沒有明顯的三角形相似的情況下,我們可以順著要證明的比例線段中的字母,利用輔助線構(gòu)造出三角形,再利用已知條件證明構(gòu)造出來的三角形相似. |
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A、
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B、
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C、
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D、
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