如圖,AB是⊙O的直徑,CD與⊙O相切于點(diǎn)C,DA⊥AB,DO及DO的延長(zhǎng)線與⊙O分別相交于點(diǎn)E、F,EB與CF相交于點(diǎn)G.
(1)求證:DA=DC;
(2)⊙O的半徑為3,AC=,求GC的長(zhǎng).
【考點(diǎn)】切線的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);相似三角形的判定與性質(zhì).
【分析】(1)由AB是⊙O的直徑,AB⊥DA,可得AD是⊙O的切線,又由DC是⊙O切線,根據(jù)切線長(zhǎng)定理即可求得答案;
(2)由勾股定理求出EG、CF、BC長(zhǎng),根據(jù)△BGC∽△FGE求出===,則CG=CF;利用勾股定理求出CF的長(zhǎng),則CG的長(zhǎng)度可求得.
【解答】(1)證明:∵AB是⊙O的直徑,AB⊥DA,
∴AD是⊙O的切線,
∵DC是⊙O切線,
∴DA=DC.
(2)解:由切線長(zhǎng)定理得:DO垂直平方AC,
∵AC=,
∴AM=,
在RT△MAO中,OM===,
∴EM=3﹣=,
在RT△EMC中,CE==,
∵EF是直徑,
∴∠ECF=90°,
∴CF===,
∵AB是直徑,
∴∠ACB=90°,
∴BC===,
∵∠GCB=∠GEF,∠GFE=∠GBC,(圓周角定理)
∴△BGC∽△FGE,
∴===,
∵CF=CG+GF, =,
∴CG=CF=×=.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定和性質(zhì),切線長(zhǎng)定理,勾股定理,相似三角形的性質(zhì)和判定,圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用,主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力,綜合性比較強(qiáng),難度偏大.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
如圖,在△ABC中,AB=AC=8,BC=6,點(diǎn)D為BC上一點(diǎn),BD=2.過(guò)點(diǎn)D作射線DE交AC于點(diǎn)E,使∠ADE=∠B.
(1)求證:;
(2)求線段EC的長(zhǎng)度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
如圖,△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,AC是⊙O的直徑,∠C=50°,∠ABC的平分線BD交⊙O于點(diǎn)D,則∠BAD的度數(shù)是( )
A.45° B.85° C.90° D.95°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
如圖,在2×2的正方形網(wǎng)格中有9個(gè)格點(diǎn),已知取定點(diǎn)A和B,在余下的7個(gè)點(diǎn)中任取一點(diǎn)C,使△ABC為直角三角形的概率是__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
在3.5,﹣0.5,0,4這四個(gè)數(shù)中,絕對(duì)值最小的一個(gè)數(shù)是( 。
A.3.5 B.﹣0.5 C.0 D.4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
如圖,在矩形ABCD中,AB=5,BC=24,M是BC的中點(diǎn),若點(diǎn)P為線段AD上的一點(diǎn),連接AM、PM,△PAM是以AP為腰的等腰三角形,則AP的長(zhǎng)為 .
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