Question

如圖，拋物線y=ax²+bx-3，頂點(diǎn)為E，該拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OB=OC=3OA．過(guò)點(diǎn)B的直線y=-

1

3

x+1與y軸交于點(diǎn)D．
（1）a=

 

，b=

 

；
（2）求∠DBC-∠CBE的值；
（3）若點(diǎn)Q為該二次函數(shù)的圖象上的一點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為-2，另有點(diǎn)P是x軸的正半軸上的任意一點(diǎn)，試判斷PQ-PC和BQ-BC值的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)拋物線y=ax²+bx-3與y軸交點(diǎn)為（0，-3），求出C（0，-3），再根據(jù)OB=OC=3OA，求出A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式．
（2）如圖1，作EG⊥CO于G，連CE，易知△OBC、△CEG都是等腰直角三角形，則△CBE是直角三角形．分別在Rt△OBD、Rt△BCE中運(yùn)用正切定義，得到tanα=

OD

OB

=

1

3

；tanβ=

CE

BC

=

2

3 2

=

1

3

；判斷出則α=β，求出∠DBC-∠CBE=45°．
（3）需要分類討論：①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合、點(diǎn)P異于點(diǎn)B兩種情況．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-3與y軸交點(diǎn)為（0，-3），
又∵OB=OC=3OA，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）．
將A（-1，0），B（3，0）分別代入y=ax²+bx-3，得

a-b-3=0 9a+3b-3=0

，
解得

a=1 b=-2

，
故答案是：1；-2；

（2）如圖1，作EG⊥CO于G，連CE．
∵A（-1，0），B（3，0），y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴C（0，-3）、E（1，-4）．
又∵直線y=-

1

3

x+1與y軸交于點(diǎn)D，
∴D（0，1），
，易知△OBC、△CEG都是等腰直角三角形，
∴∠OCB=45°，∠GCE=45°，
∴∠BCE=180°-∠OCB-∠GCE=90°，即△CBE是直角三角形．
∴tanα=

OD

OB

=

1

3

，tanβ=

CE

BC

=

2

3 2

=

1

3

，
∴α=β，從而可得∠DBC-∠CBE=45°．

（3）結(jié)論：PQ-PC≤BQ-BC．
理由如下：∵點(diǎn)Q為二次函數(shù)y=x²-2x-3的圖象上一點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為-2，
∴Q（-2，5）．
①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，PC-PQ=BQ-BC；
②當(dāng)點(diǎn)P異于點(diǎn)B時(shí)．
∵直線BQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（3，0），Q（-2，5），
∴直線BQ的函數(shù)關(guān)系式為：y=-x+3．
∵直線BQ與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，3），并設(shè)此交點(diǎn)為H，
∴點(diǎn)H與點(diǎn)C是關(guān)于x軸對(duì)稱的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，
∴BC=BH，PH=PC，
∴BQ-BC=BQ-BH=QH，PQ-PC=PQ-PH，
∴PQ-PC＜BQ-BC，
綜上所述，PQ-PC≤BQ-BC．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、圖象、一次函數(shù)的性質(zhì)和圖象，二次函數(shù)的最值等，有較大難度．