Question

【題目】如圖，拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交于點(diǎn)A（－1，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，2），直線y＝x－1與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)P是線段CD上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PF垂直x軸于點(diǎn)F，交直線CD于點(diǎn)E，

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)線段PE的長取最大值時(shí)，解答以下問題．

①求此時(shí)m的值．

②設(shè)Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，是否存在以P、Q、C、D為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）①m＝；②存在以P、Q、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

【解析】

（1）由題意利用待定系數(shù)法，即可求出拋物線的解析式；

（2）①由題意分別用含m的代數(shù)式表示出點(diǎn)P，E的縱坐標(biāo)，再用含m的代數(shù)式表示出PE的長，運(yùn)用函數(shù)的思想即可求出其最大值；

②根據(jù)題意對(duì)以P、Q、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形分三種情況進(jìn)行討論與分析求解.

解：（1）將A（﹣1，0），B（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，得：

，解得：b=1,c=2

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+2．

（2）①∵直線y＝ x-1與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-1），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0），

∴0＜m＜2．

∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣m2+m+2），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m， m+3），

∴PE＝﹣m2+m+2﹣（ m+3）＝﹣m2+m+3＝﹣（m﹣）2+．

∵﹣1＜0，0＜＜2，

∴當(dāng)m＝時(shí)，PE最長．

②由①可知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．

以P、Q、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形分三種情況（如圖所示）：

①以PD為對(duì)角線，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為；

②以PC為對(duì)角線，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為；

③以CD為對(duì)角線，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．

綜上所述：在（2）的情況下，存在以P、Q、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.