Question

如圖，AB為⊙O的直徑，

BC

=

CD

，過點(diǎn)C的直線CE和AD的延長線互相垂直，垂足為E．
（1）求證：直線CE與⊙O相切；
（2）過點(diǎn)O作OF⊥AC，垂足為F，若OF=2，OA=4，求AE的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,勾股定理

專題：

分析：（1）如圖，連接OC，由

BC

=

CD

得到∠DAC=∠CAB，然后利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠DAC=∠OCA，接著利用平行線的判定得到AE∥CO，而AE⊥CE，由此得到OC⊥CE，最后利用切線的判定定理即可證明CE為⊙O的切線；
（2）根據(jù)勾股定理求得AF，即可求得AC，通過解直角三角形求得∠OAF=30°，∠EAC=30°，解直角三角形即可求得AE的長．

解答：（1）證明：如圖，連接OC
∵

BC

=

CD

，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AE∥OC，
∵AE⊥CE，
∴OC⊥CE，
∵OC是⊙O直徑且C在半徑外端，
∴CE為⊙O的切線；

（2）解：在Rt△OFA中，AF=

OA2-OF2

=2

3

，sin∠OAF=

OF

OA

=

1

2

，
∴∠OAF=30°，
∴∠EAC=30°，
∵OF⊥AC，
∴AC=2AF=4

3

，
在Rt△CEA中，AE=AC•cos30°=6．

點(diǎn)評：此題主要考查了切線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理及勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握切線的判定和性質(zhì)以及解直角三角形的方法是解題的關(guān)鍵．