Question

【題目】已知拋物線L：y＝x2+bx﹣2與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），并與y軸相交于點(diǎn)C．且點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣1，0）．

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）判斷△ABC的形狀，并求出△ABC的面積；

（3）將拋物線向左或向右平移，得到拋物線L′，L′與x軸相交于A'、B′兩點(diǎn)（點(diǎn)A′在點(diǎn)B′的左側(cè)），并與y軸相交于點(diǎn)C′，要使△A'B′C′和△ABC的面積相等，求所有滿足條件的拋物線的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

【答案】(1)y＝x2﹣x﹣2，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，﹣）；(2)△ABC是直角三角形，△ABC的面積是5；(3)所有滿足條件的拋物線的函數(shù)表達(dá)式是y＝，y＝，y＝．

【解析】

（1）根據(jù)拋物線過(guò)點(diǎn)A可以求得拋物線的解析式，然后將拋物線化為頂點(diǎn)式即可得到頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)（1）中的函數(shù)解析式可以求得點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，從而可以判斷△ABC的形狀并求出它的面積；

（3）根據(jù)平移的特點(diǎn)和分類討論的方法可以求得相應(yīng)的函數(shù)解析式．

(1)∵拋物線L：y＝x2+bx﹣2過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），

∴0＝×（﹣1）2+b×（﹣1）﹣2，

解得，b＝﹣，

∴y＝x2﹣x﹣2＝，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，﹣），

即該拋物線的函數(shù)表達(dá)式是y＝x2﹣x﹣2，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，﹣）；

(2)當(dāng)y＝0時(shí)，0＝x2﹣x﹣2，解得，x1＝﹣1，x2＝4，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣2，

則點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（4，0），點(diǎn)C（0，﹣2），

∴AB＝5，AC＝，BC＝2，

∵AB2＝AC2+BC2，

∴△ABC是直角三角形，

∴△ABC的面積是：＝5；

(3)∵拋物線向左或向右平移，

∴平移后A′B′與平移前的AB的長(zhǎng)度相等，

∴只要平移后過(guò)（0，﹣2）或過(guò)（0，2）即滿足條件，

當(dāng)向右平移時(shí)，

令y＝，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝＝2，得a＝，

此時(shí)y＝＝，

當(dāng)向左平移時(shí)，

令y＝，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝＝±2，得m＝或m＝3，

當(dāng)m＝時(shí)，y＝，當(dāng)m＝3時(shí)，y＝﹣2，

由上可得，所有滿足條件的拋物線的函數(shù)表達(dá)式是y＝，y＝，y＝﹣2．