【題目】如圖,點A是反比例函數(shù)圖象第一象限上一點,過點A作軸于B點,以AB為直徑的圓恰好與y軸相切,交反比例函數(shù)圖象于點C,在AB的左側(cè)半圓上有一動點D,連結(jié)CD交AB于點記的面積為,的面積為,連接BC,則是______三角形,若的值最大為1,則k的值為______.
【答案】 等腰直角;
【解析】分析:
(1)如下圖,連接O′C,過點C作CH⊥x軸于點H,由O′和兩坐標軸相切可知O′和反比例函數(shù)的圖象都關于直線y=x對稱,若設點A的坐標為(m,2m),則點C的坐標為(2m,m),結(jié)合題意易證四邊形BHCO′是正方形,從而可得∠ABC=45°,由AB為O′直徑可得∠ACB=90°,由此可得△ABC是等腰直角三角形;
(2)由下圖,連接DO′,并延長交BC于點F,由已知易得S1-S2=S△BCD-S△ABC, S△ABC是定值,BC是定值,從而可得當DF最長,即當DF⊥BC時,S1-S2的值最大,用含m的代數(shù)式表達出S△BCD和S△ABC的面積,結(jié)合S1-S2的最大值為1列出方程,解方程求得m的值即可得到點A的坐標,從而可得k的值.
詳解:
(1)如下圖,連接O′C,過點C作CH⊥x軸于點H,由O′和兩坐標軸相切可知O′和反比例函數(shù)的圖象都關于直線y=x對稱,
∴若設點A的坐標為(m,2m),則點C的坐標為(2m,m),
∴BO′=CH=m,BO′∥CH,
∴四邊形BHCO′是平行四邊形,
∵BH=CH,∠BHC=90°,
∴四邊形BHCO′是正方形.
∴∠ABC=45°,
∵AB為O′直徑,
∴∠ACB=90°,
∴△ACB是等腰直角三角形;
(2)由下圖,連接DO′,并延長交BC于點F,
∵由圖可得S1-S2=S△BCD-S△ABC, S△ABC是定值,BC是定值,
∴當DF最長,即當DF⊥BC時,S1-S2的值最大,
∵△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=45°,AB=2m,且DF⊥BC,
∴BC=AC=,DF=DO′+O′F=,
又∵S1-S2=S△BCD-S△ABC=1,
∴,
化簡得:,
∵點A(m,2m)在反比例函數(shù)函數(shù)的圖象上,
∴k=2m2=.
故答案為:(1)等腰直角;(2).
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【題目】如圖(1),為等腰三角形,,點是底邊上的一個動點,,.
(1)用表示四邊形的周長為 ;
(2)點運動到什么位置時,四邊形是菱形,請說明理由;
(3)如果不是等腰三角形圖(2),其他條件不變,點運動到什么位置時,四邊形是菱形(不必說明理由).
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【題目】某開發(fā)公司生產(chǎn)的960件新產(chǎn)品需要精加工后才能投放市場。現(xiàn)有甲、乙兩個工廠都想加工這批產(chǎn)品,已知甲廠單獨加工這批產(chǎn)品比乙工廠單獨加工完這批產(chǎn)品多用20天,而甲工廠每天加工的數(shù)量是乙工廠每天加工數(shù)量的,甲、乙兩個工廠每天各能加工多少個新產(chǎn)品?
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【題目】(操作發(fā)現(xiàn))如圖1,在邊長為x的正方形內(nèi)剪去邊長為y的小正方形,剩下的圖形面積可以表示為 ;把剩下的這個圖形沿圖2的虛線剪開,并拼成圖3的長方形,可得長為 、寬為 ,那么這個長方形的面積可以表示為 ,不同的方法求得的面積應相等,由此可以得到一個等式.
(數(shù)學應用)利用得到的等式解決以下問題:
(1)
(2)
(思維拓展)(3)利用得到的等式計算…
解:原式=…
請你把接下來的計算過程補充完整.
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【題目】對于任意正實數(shù)a ,b ,∵,∴,
∴,只有a=b時,等號成立.
結(jié)論:在(均為正實數(shù))中,若為定值p,則,只有當a=b時,有最小值.
根據(jù)上述內(nèi)容,回答下列問題:
(1)若n>0,只有當n= ______時,有最小值;
(2)下面一組圖是由4個全等的矩形圍成的大正方形,中空部分是小正方形,矩形的長和寬分別為a,b ,試利用大正方形與四個矩形的面積的大小關系,驗證,并指出等號成立時的條件;
......
(3)如下圖,已知A(-3,0),B(0,-4),點P是第一象限內(nèi)的一個動點,過P點向坐標軸作垂線,分別交軸和軸于C,D兩點,矩形OCPD的面積始終為12,求四邊形ABCD面積的最小值,并說明此時四邊形ABCD的形狀.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,四邊形ABCD為正方形,已知點A(﹣6,0),D(﹣7,3),點B、C在第二象限內(nèi).
(1)求點B的坐標。
(2)將正方形ABCD以每秒1個單位的速度沿x軸向右平移t秒,若存在某一時刻t,使在第一象限內(nèi)點B、D兩點的對應點B′、D′正好落在某反比例函數(shù)的圖象上,請求出此時t的值以及這個反比例函數(shù)的解析式;
(3)在(2)的情況下,問是否存在x軸上的點P和反比例函數(shù)圖象上的點Q,使得以P、Q、B′、D′四個點為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出符合題意的點P、Q的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知:如圖,AB是⊙O的直徑,⊙O過AC的中點D,DE⊥BC,交BC于點E.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)如果CD=8,CE=6,求⊙O的半徑.
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【題目】已知:如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于A(﹣1,0),點B(4,0),與y軸的交點為C
(1)求二次函數(shù)的關系式;
(2)已知點M是線段OB上一動點,過點M作平行于y軸的直線l,直線l與拋物線交于點E,與直線BC交于點F,連接CE,若△CEF與△OBC相似,求點M的坐標;
(3)已知點M是x軸正半軸上一動點,過點M作平行于y軸的直線l,直線l與拋物線交于P,與直線BC交于點Q,連接CP,將△CPQ沿CP翻折后,是否存在這樣的直線l,使得翻折后的點Q剛好落在y軸上?若存在,請求出此時點M的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖所示,點C在線段AB上,AC = 8 cm,CB = 6 cm,點M、N分別是AC、BC的中點.
(1)求線段MN的長.
(2)若C為線段AB上任意一點,滿足AC+CB=a(cm),其他條件不變,你能猜想出MN的長度嗎?并說明理由.
(3)若C在線段AB的延長線上,且滿足AC-CB=b(cm),M、N分別為AC、BC的中點,你能猜想出MN的長度嗎?請畫出圖形,寫出你的結(jié)論,并說明理由.
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