【題目】如圖,拋物線 與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),點(diǎn)B(3,0),與y軸正半軸交于點(diǎn)C.
(1)拋物線的解析式為________;
(2)P為拋物線上一點(diǎn),連結(jié)AC,PC,若∠PCO=3∠ACO,點(diǎn)P的坐標(biāo)為________.
【答案】y=x2+2x+3 (,)
【解析】
(1)將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式得一個(gè)二元一次方程組,解之即可得出b、c值,從而可得拋物線解析式.
(2)延長(zhǎng)CP交x軸于點(diǎn)E,在x軸上取點(diǎn)D,使CD=CA,作EN⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,作AI⊥CD交CD于I,由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知
∠DCO=∠ACO,結(jié)合已知條件可知∠ACD=∠ECD,由此得tan∠ACD=tan∠ECD,即, 根據(jù)等面積法求得AI=, 由勾股定理得CI=, 即, 由此設(shè)EN=3x,則CN=4x,根據(jù)tan∠CDO=tan∠EDN得DN=x,由CD=CN-DN求得x值以及E點(diǎn)坐標(biāo),再由待定系數(shù)法求得直線CE解析式y=-x+3,將直線CE和拋物線解析式聯(lián)立、解之即可求得P點(diǎn)坐標(biāo).
(1)解:∵A(-1,0),B(3,0)在拋物線上,
∴,
解得:
∴拋物線解析式為:y=x2+2x+3.
故答案為:y=x2+2x+3.(2)延長(zhǎng)CP交x軸于點(diǎn)E,在x軸上取點(diǎn)D,使CD=CA,作EN⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,作AI⊥CD交CD于I,
∵CD=CA,OC⊥AD,
∴∠DCO=∠ACO,
∵∠PCO=3∠ACO,
∴∠ACD=∠ECD,
∴tan∠ACD=tan∠ECD,
∴,
在Rt△ACI中,
又∵A(-1,0),C(0,3),
∴OA==OD=1,OC=3,
∴AD=2,AC=DC=
AI=,
∴CI=,
∴,
設(shè)EN=3x,則CN=4x,DE=5x,
∵tan∠CDO=tan∠EDN,
∴,
∴DN=x,
∴CD=CN-DN=4x-x=3x=,
∴x=,
即DN=, EN=,
∴DE=,
∴E(, 0),
設(shè)直線CE解析式為:y=kx+b,
∴,
解得,
∴直線CE解析式為:y=-x+3,
∴,
解得:(舍去)或,
∴P(,).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本題滿分8分)
為營(yíng)造書(shū)香家庭,周末小亮和姐姐一起從家出發(fā)去圖書(shū)館借書(shū),走了6分鐘忘帶借書(shū)證,小亮立即騎路邊共享單車返回家中取借書(shū)證,姐姐以原來(lái)的速度繼續(xù)向前行走,小亮取到借書(shū)證后騎單車原路原速前往圖書(shū)館,小亮追上姐姐后用單車帶著姐姐一起前往圖書(shū)館.已知單車的速度是步行速度的3倍,如圖是小亮和姐姐距家的路程y(米)與出發(fā)的時(shí)間x(分鐘)的函數(shù)圖象,根據(jù)圖象解答下列問(wèn)題:
⑴小亮在家停留了 分鐘.
⑵求小亮騎單車從家出發(fā)去圖書(shū)館時(shí)距家的路程y(米)與出發(fā)時(shí)間x(分鐘)之間的函數(shù)關(guān)系式.
⑶若小亮和姐姐到圖書(shū)館的實(shí)際時(shí)間為m分鐘,原計(jì)劃步行到達(dá)圖書(shū)館的時(shí)間為n分鐘,則n-m= 分鐘.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了了解某市九年級(jí)學(xué)生的體育成績(jī)(成績(jī)均為整數(shù)),隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的體育成績(jī)并分段(A:20.5~22.5;B:22.5~24.5;C:24.5~26.5;D:26.5~28.5;E:28.5~30.5)統(tǒng)計(jì)如下,而且制成了如圖所示的不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
體育成績(jī)統(tǒng)計(jì)表
分?jǐn)?shù)段 | 頻數(shù) | 頻率 |
A | 12 | 0.05 |
B | 36 | a |
C | 84 | 0.35 |
D | b | 0.25 |
E | 48 | 0.20 |
體育成績(jī)統(tǒng)計(jì)圖
根據(jù)上面提供的信息,解答下列問(wèn)題:
(1)在統(tǒng)計(jì)表中,a=________,b=________,并將統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(2)小明說(shuō):“這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)一定在C中.”你認(rèn)為小明的說(shuō)法正確嗎?__________(填“正確”或“錯(cuò)誤”).
(3)若成績(jī)?cè)?/span>27分以上(含27分)定為優(yōu)秀,則該市今年48 000名九年級(jí)學(xué)生中體育成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生約有多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有一塊兩直角邊長(zhǎng)分別為AC=3cm和BC=4cm的直角三角形鐵皮,要利用它來(lái)裁剪一個(gè)正方形,有兩種方法:一種是正方形的一邊在直角三角形的斜邊上,另兩個(gè)頂點(diǎn)在兩條直角邊上,如圖(1);另一種是一組鄰邊在直角三角形的兩直角邊上,另一個(gè)頂點(diǎn)在斜邊上,如圖(2).用計(jì)算說(shuō)明兩種情形下正方形的面積哪個(gè)大?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形中,,連接,以對(duì)角線為邊按逆時(shí)針?lè)较蜃骶匦?/span>,使矩形矩形;再連接,以對(duì)角線為邊,按逆時(shí)針?lè)较蜃骶匦,使矩?/span>矩形, ..按照此規(guī)律作下去,若矩形的面積記作,矩形的面積記作,矩形的面積記作, ... 則的值為__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD,點(diǎn)P為射線DC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q為AB的中點(diǎn),連接PQ,DQ,過(guò)點(diǎn)P作PE⊥DQ于點(diǎn)E.
(1)請(qǐng)找出圖中一對(duì)相似三角形,并證明;
(2)若AB=4,以點(diǎn)P,E,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ADQ相似,試求出DP的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線(a≠0)經(jīng)過(guò)A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,﹣3)三點(diǎn),直線l是拋物線的對(duì)稱軸.
(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離之和最短時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)M也是直線l上的動(dòng)點(diǎn),且△MAC為等腰三角形,請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在一個(gè)不透明的盒子里有5個(gè)小球,分別標(biāo)有數(shù)字﹣3,﹣2,﹣1,﹣,﹣,這些小球除所標(biāo)的數(shù)不同外其余都相同,先從盒子隨機(jī)摸出1個(gè)球,記下所標(biāo)的數(shù),再?gòu)氖O碌那蛑须S機(jī)摸出1個(gè)球,記下所標(biāo)的數(shù).
(1)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法求兩次摸出的球所標(biāo)的數(shù)之積不大于1的概率.
(2)若以第一次摸出球上的數(shù)字為橫坐標(biāo),第二次摸出球上的數(shù)字為縱坐標(biāo)確定一點(diǎn),直接寫(xiě)出該點(diǎn)在雙曲線y=上的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義:到一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)叫做該三角形的外心.
(1)如圖①,小海同學(xué)在作△ABC的外心時(shí),只作出兩邊BC,AC的垂直平分線得到交點(diǎn)O,就認(rèn)定點(diǎn)O是△ABC的外心,你覺(jué)得有道理嗎?為什么?
(2)如圖②,在等邊三角形ABC的三邊上,分別取點(diǎn)D,E,F,使AD=BE=CF,連接DE,EF,DF,得到△DEF.若點(diǎn)O為△ABC的外心,求證:點(diǎn)O也是△DEF的外心.
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