【題目】如圖,已知點A、C分別在∠GBE的邊BG、BE上,且AB=AC,AD∥BE,∠GBE的平分線與AD交于點D,連接CD.
(1)求證:①AB=AD;②CD平分∠ACE.
(2)猜想∠BDC與∠BAC之間有何數(shù)量關(guān)系?并對你的猜想加以證明.
【答案】(1)見解析;(2)∠BDC=∠BAC,見解析
【解析】
試題分析:(1)①根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ADB=∠DBC,由角平分線的定義得到∠ABD=∠DBC,等量代換得到∠ABD=∠ADB,根據(jù)等腰三角形的判定即可得到AB=AD;②根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ADC=∠DCE,由①知AB=AD,等量代換得到AC=AD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ACD=∠ADC,求得∠ACD=∠DCE,即可得到結(jié)論;
(2)根據(jù)角平分線的定義得到∠DBC=∠ABC,∠DCE=∠ACE,由于∠BDC+∠DBC=∠DCE于是得到∠BDC+∠ABC=∠ACE,由∠BAC+∠ABC=∠ACE,于是得到∠DC+∠ABC=∠ABC+∠BAC,即可得到結(jié)論.
解:(1)①∵AD∥BE,
∴∠ADB=∠DBC,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC,
∴∠ABD=∠ADB,
∴AB=AD;
②∵AD∥BE,
∴∠ADC=∠DCE,
由①知AB=AD,
又∵AB=AC,
∴AC=AD,
∴∠ACD=∠ADC,
∴∠ACD=∠DCE,
∴CD平分∠ACE;
(2)∠BDC=∠BAC,
∵BD、CD分別平分∠ABE,∠ACE,
∴∠DBC=∠ABC,∠DCE=∠ACE,
∵∠BDC+∠DBC=∠DCE,
∴∠BDC+∠ABC=∠ACE,
∵∠BAC+∠ABC=∠ACE,
∴∠BDC+∠ABC=∠ABC+∠BAC,
∴∠BDC=∠BAC.
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【題目】如圖所示,在△ABC中,BC>AC,點D在BC上,且DC=AC,∠ACB的平分線CF交AD于點F.點E是AB的中點,連接EF.
(1)求證:EF∥BC;
(2)若△ABD的面積是6,求四邊形BDFE的面積.
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【題目】在求1+3+32+33+34+35+36+37+38的值時,張紅發(fā)現(xiàn):從第二個加數(shù)起每一個加數(shù)都是前一個加數(shù)的3倍,于是她假設(shè):S=1+3+32+33+34+35+36+37+38①, 然后在①式的兩邊都乘以3,得:3S=3+32+33+34+35+36+37+38+39②,
②﹣①得,3S﹣S=39﹣1,即2S=39﹣1,
所以S= .
得出答案后,愛動腦筋的張紅想:如果把“3”換成字母m(m≠0且m≠1),能否求出1+m+m2+m3+m4+…+m2016的值?如能求出,其正確答案是 .
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【題目】現(xiàn)在,蘇寧商場進行促銷活動,出售一種優(yōu)惠購物卡(注:此卡只作為購物優(yōu)惠憑證不能頂替貨款),花300元買這種卡后,憑卡可在這家商場按標價的8折購物.
(1)顧客購買多少元金額的商品時,買卡與不買卡花錢相等?在什么情況下購物合算?
(2)小張要買一臺標價為3500元的冰箱,如何購買合算?小張能節(jié)省多少元錢?
(3)小張按合算的方案,把這臺冰箱買下,如果商場還能盈利25%,這臺冰箱的進價是多少元?
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【題目】心理學家研究發(fā)現(xiàn),一般情況下,學生的注意力隨著教師講課時間的變化而變化,講課開始時學生的注意力逐步增強,中間有一段時間學生的注意力保持較為理想的狀態(tài),隨后學生的注意力開始分散,經(jīng)過實驗分析可知,一般地,學生的注意力y隨時間t的變化情況如下表:
上課時間t(分) | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 |
學生的注意力y | 100 | 191 | 240 | 240 | 240 | 205 | 170 | 135 | 100 | 65 |
(1)講課開始后第5分鐘時與講課開始后第25分鐘時比較,何時學生的注意力更集中?
(2)從表中觀察,講課開始后,學生的注意力最集中的時間是那一段?
(3)從表中觀察,講課開始后,學生的注意力從第幾分鐘起開始下降?猜想注意力下降過程中y與t的關(guān)系,并用式子表示出來。
用(3)題中的關(guān)系式,求當t=27分時,學生的注意力y的值是多少,F(xiàn)有一道數(shù)學難題,需要講解20分鐘,為了效果更好,要求學生的注意力最低達到190,那么老師能否在學生注意力達到所需狀態(tài)下講完這道題目,試著說明理由。
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【題目】如圖,四邊形OABC、BDEF是面積分別為、的正方形,點A在x軸上,點F在BC上,點E在反比例函數(shù)(k>0)的圖象上,若,則k值為( 。
A. 1 B. C. 2 D. 4
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【題目】問題:如圖(1),點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,∠EAF=45°,試判斷BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系.
(1)【發(fā)現(xiàn)證明】
小聰把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,從而發(fā)現(xiàn)EF=BE+FD,請你利用圖(1)證明上述結(jié)論.
(2)【類比引申】
如圖(2),四邊形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,點E、F分別在邊BC、CD上,則當∠EAF與∠BAD滿足關(guān)系時,仍有EF=BE+FD.
(3)【探究應(yīng)用】
如圖(3),在某公園的同一水平面上,四條通道圍成四邊形ABCD.已知AB=AD=80米,∠B=60°,∠ADC=120°,∠BAD=150°,道路BC、CD上分別有景點E、F,且AE⊥AD,DF=40( ﹣1)米,現(xiàn)要在E、F之間修一條筆直道路,求這條道路EF的長(結(jié)果取整數(shù),參考數(shù)據(jù): =1.41, =1.73)
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【題目】某校為了解學生的課外閱讀情況,就“我最喜愛的課外讀物”對文學、藝術(shù)、科普和其他四個類別進行了抽樣調(diào)查(每位同學只選一類),并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請你根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問題:
(1)這次被調(diào)查的學生共有多少名?
(2)請將條形統(tǒng)計圖補充完整;并在扇形統(tǒng)計圖中,計算出“其他類”所對應(yīng)的圓心角的度數(shù);
(3)若該校有2400名學生,請你估計該校喜愛“科普類”的學生有多少名.
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