Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=kx+5與x交于點A，與y交于點B，與拋物線y=ax²+bx交于點C、D．已知點C坐標為（1，7），點C橫坐標為5．
（1）求直線與拋物線的解析式；
（2）將此拋物線沿對稱軸向下平移幾個單位，拋物線與直線AB一個交點．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)圖象與幾何變換

專題：計算題

分析：（1）先把C點坐標代入y=kx+5求出k得到直線解析式為y=2x+5，再利用直線解析式確定D點坐標，然后把C點和D點坐標分別代入y=ax²+bx得到關(guān)于a、b的方程組，解方程組求出a和b即可得到拋物線解析式；
（2）根據(jù)拋物線的平移問題，設(shè)將此拋物線沿對稱軸向下平移b個單位，拋物線與直線AB一個交點，則平移后的拋物線為y=-x²+8x-b，把函數(shù)圖象有一個交點轉(zhuǎn)化為-x²+8x-b=2x+5有相等的實數(shù)解，然后利用根的判別式的意義得到△=（-6）²-4（b+5）=0，再解方程求出b即可．

解答：解：（1）∵直線y=kx+5過點C（1，7），
∴k+5=7，解得k=2，
∴直線解析式為y=2x+5，
當(dāng)x=5時，y=2×5+5=15，則D點坐標為（5，15），
把C（1，7）和D（5，15）分別代入得

a+b=7 25a+5b=15

，解得

a=-1 b=8

，
∴拋物線的解析式為y=-x²+8x；
（2）設(shè)平移后的拋物線為y=-x²+8x-b，
∵y=-x²+8x-b與直線AB一個交點，
∴-x²+8x-b=2x+5有相等的實數(shù)解，
整理得x²-6x+5+b=0，
∴△=（-6）²-4（b+5）=0，解得b=4，
即此拋物線沿對稱軸向下平移4個單位，拋物線與直線AB一個交點．

點評：主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0），當(dāng)a＞0時，在對稱軸左側(cè)y隨x的增大而減小，在對稱軸右側(cè)y隨x的增大而增大；當(dāng)a＜0時，在對稱軸左側(cè)y隨x的增大而增大，在對稱軸右側(cè)y隨x的增大而減小．也考查二次函數(shù)與幾何變換和拋物線與直線的交點問題．