Question

【題目】如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)為拋物線在第二象限內(nèi)一點(diǎn)，并且在對(duì)稱軸的左邊，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

①當(dāng)矩形的周長(zhǎng)最大時(shí)，求的面積；

②在①的條件下，當(dāng)矩形的周長(zhǎng)最大時(shí)，是直線上一點(diǎn)，是拋物線上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）

（2）①2；②存在，(-2，9)或(1，0)或(-6，-7)

【解析】

（1）先求出、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入拋物線求出、的值即可；

（2）①先用m表示出PM的長(zhǎng)，再求出拋物線的對(duì)稱軸及PQ的長(zhǎng)，利用矩形的面積公式可得出其周長(zhǎng)的解析式，進(jìn)而可得出矩形面積的最大值，求出C點(diǎn)坐標(biāo)，由三角形的面積公式即可得出結(jié)論；

②根據(jù)C點(diǎn)坐標(biāo)得出P點(diǎn)坐標(biāo)，故可得出PC的長(zhǎng)，再分點(diǎn)F在點(diǎn)G的上方與點(diǎn)F在點(diǎn)G的下方兩種情況進(jìn)行討論即可．

解：（1）∵y=x+5與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，

∴當(dāng)y=0時(shí)，x=-5，即A點(diǎn)坐標(biāo)為(-5，0)，

當(dāng)x=0時(shí)，y=5，即B點(diǎn)坐標(biāo)為(0，5)，

將A(-5，0)，B(0，5)代入y=-x2+bx+c，

得，

解得，

∴拋物線的解析式為；

（2）①∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，

∴P（m，-m2-4m+5），∴PM=-m2-4m+5．

∵拋物線y=-x2-4x+5的對(duì)稱軸為直線：

∴PQ=2（-2-m）=-4-2m．

∴矩形PQMN的周長(zhǎng)l=2（PM+PQ）=2（-m2-4m+5-4-2m）

∴l=-2m2-12m+2=-2（m+3）2+20，

∵-2<0

∴當(dāng)m=-3時(shí)，矩形PQMN的周長(zhǎng)l最大，

此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-3，2)，CM=AM=2，

∴；

②存在，點(diǎn)F坐標(biāo)為(-2，9)或(1，0)或(-6，-7)

由①可知，

以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形

設(shè)，則

當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)G上方時(shí)，如圖1，

即

（舍）

當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)G下方時(shí)，如圖2，

即

（舍）

或

點(diǎn)F坐標(biāo)為(-2，9)或(1，0)或(-6，-7)