Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點(diǎn)E是邊CD上的點(diǎn)，且CE＝4，過(guò)點(diǎn)E作CD的垂線，并在垂線上截取EF＝3，連接CF．將△CEF繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為a．

（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)

當(dāng)a＝0°時(shí)，AF＝ ，BE＝ ，＝ ；

（2）拓展探究

試判斷：當(dāng)0°≤a°＜360°時(shí)，的大小有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖2的情況給出證明．

（3）問(wèn)題解決

當(dāng)△CEF旋轉(zhuǎn)至A，E，F三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫(xiě)出線段BE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）無(wú)變化，理由見(jiàn)解析；（3）BE的值為或

【解析】

（1）如圖（見(jiàn)解析），先根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)得出DG＝EF＝3，AG＝11，再利用勾股定理求出即可得；

（2）如圖（見(jiàn)解析），先根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)得出，∠ECF＝∠ACB，從而可得，∠ACF＝∠BCE，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)即可得；

（3）分兩種情況：E在A、F之間和點(diǎn)F在A、E之間，分別利用勾股定理求出AE的長(zhǎng)，再利用線段的和差求出AF的長(zhǎng)，然后結(jié)合（2）的結(jié)論即可求出BE的長(zhǎng)．

（1）當(dāng)a＝0°時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AD于G

∵四邊形ABCD是矩形

∴∠ADC＝∠BCE＝90°，AD＝BC＝8，AB＝CD＝6

由∠G＝∠EDG＝∠DEF＝90°，知四邊形DEFG是矩形

∴DG＝EF＝3，AG＝11

∵CE＝4，CD＝6

∴FG＝DE＝2

在Rt△AGF中，由勾股定理得：AF＝

同理可得：BE＝

∴=；

（2）的大小無(wú)變化，理由如下：

如圖，連接AC

∵AB＝6，BC＝8，EF＝3，CE＝4

∴，

∴=

∵∠CEF＝∠ABC＝90°

∴△CEF∽△CBA

∴，∠ECF＝∠ACB

∴，∠ACF＝∠BCE

∴△ACF∽△BCE

∴，即的大小無(wú)變化；

（3）當(dāng)△CEF旋轉(zhuǎn)至A，E，F三點(diǎn)共線時(shí)，存在兩種情況：

①如圖，點(diǎn)E在A、F之間，連接AC

Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝10

同理可得：CF＝5

由（2）知：

Rt△AEC中，由勾股定理得：AE＝

∴AF＝AE+EF＝

∴BE＝AF＝＝；

②如圖，點(diǎn)F在A、E之間時(shí)，連接AC

同理可得：AF＝AE﹣EF＝

∴BE＝AF＝＝；

綜上所述，BE的值為或．