Question

如圖，直線y=-

3

3

x+3與坐標軸分別交于點A、B，邊長為l的正方形CDEF頂點C與A重合，邊CF在直線AB上．
（1）∠ABO=

 

，AB=

 

；
（2）若正方形CDEF從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著直線AB運動，當F點和B點重合時運動停止．設運動的時間為t秒，正方形CDEG與△ABO的重疊部分的面積為S（不包括C與A、F與B重合時的面積），求出S與t之間的函數(shù)關系式，并寫出相應的t的取值范圍．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先求出A、B兩點的坐標，再根據(jù)tan∠ABO=

OA

OB

即可得出∠ABO的度數(shù)，再根據(jù)勾股定理可求出AB的長；
（2）①當0＜t≤

3

3

時，S=S_{正方形CDEF}-S_△DGH；②當

3

3

＜t≤5-

3

時，S=S_{正方形CDEF}；③當5-

3

＜t≤6-

3

時，S=S_{正方形CDEF}-S_△EGH；④當5-

3

＜t＜5時，S=S_{直角梯形PCGH}．

解答：解：（1）∵直線y=-

3

3

x+3與坐標軸分別交于點A、B，
∴A（0，3），B（3

3

，0），
∴tan∠ABO=

OA

OB

=

3

3 3

=

3

3

，AB=

32+(3 3 )2

=6，
∴∠ABO=30°．
故答案為：30°，6；

（2）①如圖1，
∵AC=t，CG=

3

t，DG=1-

3

t，DH=

3

3

（1-

3

t），
∴S=S_{正方形CDEF}-S_△DGH=CD•DE-

1

2

•DG•DH，
即S=1×1-

1

2

•（1-

3

t）•

3

3

（1-

3

t），
∴S=-

3

2

t²+t+1-

3

6

，（0＜t≤

3

3

）．
②如圖2，可知此時重疊部分的面積S就是正方形CDEF的面積S=S_{正方形CDEF}=CD•DE=1×1=1，（

3

3

＜t≤5-

3

）

③如圖3，
∵AC=t，CF=1，AB=6，
BF=5-t，F(xiàn)H=

3

3

（5-t），EH=1-

3

3

（5-t），EG=

3

[1-

3

3

（5-t）]，
∴S=S_{正方形CDEF}-S_△EGH=CD•DE-

1

2

•EG•EH，
S=1×1-

1

2

×

3

[1-

3

3

（5-t）]•[1-

3

3

（5-t）]，
∴S=-

3

6

t²+

5 3 -3

3

t+

18-14 3

3

，（5-

3

＜t≤6-

3

），
④如圖4，AC=t，CF=1，AB=6，BF=5-t，F(xiàn)H=

3

3

（5-t），BC=6-t，CG=

3

3

（6-t），
S=S_{直角梯形PCGH}=

1

2

•（FH+CG）•FC
S=

1

2

•[

3

3

（5-t）+

3

3

（6-t）]×1，
S=-

3

3

t+

11 3

6

，（5-

3

＜t＜5）．

點評：本題考查的圖象上是一次函數(shù)綜合題，涉及到一次函數(shù)圖象上點的坐標特點，正方形的性質等知識，難度較大．