Question

如圖，拋物線的頂點為A（2，1），且經(jīng)過原點O，與x軸的另一個交點為B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求△AOB的面積；
（3）若點P（m，-m）（m≠0）為拋物線上一點，求與P關(guān)于拋物線對稱軸對稱的點Q的坐標(biāo)．
（注：拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸是x=-

b

2a

）

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：

分析：（1）已知拋物線的頂點為A（2，1），設(shè)拋物線為頂點式，把點O（0，0）代入即可求解析式；
（2）由拋物線的對稱軸為直線x=2，且經(jīng)過原點O（0，0），根據(jù)對稱性得出與x軸的另一個交點B的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出△AOB的面積；
（3）將點P（m，-m）代入y=-

1

4

（x-2）²+1，得出-m=-

1

4

（m-2）²+1，解方程求出m的值，得到P點坐標(biāo)，再根據(jù)對稱性即可求出P關(guān)于拋物線對稱軸對稱點Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x-2）²+1，
將點O（0，0）的坐標(biāo)代入得：4a+1=0，
解得a=-

1

4

．
所以二次函數(shù)的解析式為y=-

1

4

（x-2）²+1；

（2）∵拋物線y=-

1

4

（x-2）²+1的對稱軸為直線x=2，且經(jīng)過原點O（0，0），
∴與x軸的另一個交點B的坐標(biāo)為（4，0），
∴△AOB的面積=

1

2

×4×1=2；

（3）∵點P（m，-m）（m≠0）為拋物線y=-

1

4

（x-2）²+1上一點，
∴-m=-

1

4

（m-2）²+1，
解得m₁=0（舍去），m₂=8，
∴P點坐標(biāo)為（8，-8），
∵拋物線對稱軸為直線x=2，
∴P關(guān)于拋物線對稱軸對稱的點Q的坐標(biāo)為（-4，-8）．

點評：本題考查了運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，三角形的面積，二次函數(shù)的性質(zhì)，難度適中．充分利用拋物線的對稱性是解題的關(guān)鍵．