Question

如圖，在△ABC中，以AC為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)G，且D是BC中點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為E，交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．
（1）求證：直線(xiàn)EF是⊙O的切線(xiàn)；
（2）若CF=5，cos∠A=

2

5

，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線(xiàn)的判定

專(zhuān)題：幾何綜合題

分析：（1）連結(jié)OD．先證明OD是△ABC的中位線(xiàn)，根據(jù)中位線(xiàn)的性質(zhì)得到OD∥AB，再由DE⊥AB，得出OD⊥EF，根據(jù)切線(xiàn)的判定即可得出直線(xiàn)EF是⊙O的切線(xiàn)；
（2）先由OD∥AB，得出∠COD=∠A，再解Rt△DOF，根據(jù)余弦函數(shù)的定義得到cos∠FOD=

OD

OF

=

2

5

，設(shè)⊙O的半徑為R，解方程

R

R+5

=

2

5

，求出R=

10

3

，那么AB=2OD=

20

3

，解Rt△AEF，根據(jù)余弦函數(shù)的定義得到cos∠A=

AE

AF

=

2

5

，求出AE=

14

3

，然后由BE=AB-AE即可求解．

解答：（1）證明：如圖，連結(jié)OD．
∵CD=DB，CO=OA，
∴OD是△ABC的中位線(xiàn)，
∴OD∥AB，AB=2OD，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD，即OD⊥EF，
∴直線(xiàn)EF是⊙O的切線(xiàn)；

（2）解：∵OD∥AB，
∴∠COD=∠A．
在Rt△DOF中，∵∠ODF=90°，
∴cos∠FOD=

OD

OF

=

2

5

，
設(shè)⊙O的半徑為R，則

R

R+5

=

2

5

，
解得R=

10

3

，
∴AB=2OD=

20

3

．
在Rt△AEF中，∵∠AEF=90°，
∴cos∠A=

AE

AF

=

AE

5+ 20 3

=

2

5

，
∴AE=

14

3

，
∴BE=AB-AE=

20

3

-

14

3

=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線(xiàn)的判定，解直角三角形，三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)．要證某線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，已知此線(xiàn)過(guò)圓上某點(diǎn)，連結(jié)圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．