Question

（本題滿分12分）

（1）若二次函數(shù)y1=mx2 －3（m－1）x+2m－3的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；

①求二次函數(shù)y1的解析式；

②已知一次函數(shù)y2=2x－2，證明：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)于x的同一個(gè)值，這兩個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y1≥y2均成立；

（2）在（1）條件下，若二次函數(shù)y3=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（－5，0），且在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)于x的同一個(gè)值，這三個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y1≥y3≥y2均成立，求二次函數(shù)y3=ax2+bx+c的解析式．

Answer 1

（1）①二次函數(shù)的解析式為：y1=x2-1；

②證明見解析；

（2）y3=.

【解析】

試題分析：（1）①由已知可得3（m-1)=0，得m=1，從而得到二次函數(shù)的解析式為：y1=x2-1；

②通過y1-y2=x2-1-(2x-2)=（x-1)2≥0得到證明；

（2）由②知，當(dāng)x=1時(shí)，y1=y2=0，即y1、y2的圖象都經(jīng)過點(diǎn)（1，0）；從而知y3的圖象必經(jīng)過（1，0），再由已知y3的圖象還過點(diǎn)（-5，0），由待定系數(shù)法可求得y3的解析式，再通過計(jì)算y3-y2即可.

試題解析：（1）①∵二次函數(shù)y1=mx2 －3（m－1）x+2m－3的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，∴3（m-1)=0，即m=1,

∴拋物線的解析式為：y1=x2-1；

②∵y1-y2=x2-1-(2x-2)=（x-1)2≥0，∴y1≥y2（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，等號(hào)成立）；

（2）由②知，當(dāng)x=1時(shí)，y1=y2=0，即y1、y2的圖象都經(jīng)過點(diǎn)（1，0）；

∵對(duì)應(yīng)x的同一個(gè)值，y1≥y3≥y2成立，

∴y3=ax2+bx+c的圖象必經(jīng)過（1，0），

又∵y3=ax2+bx+c經(jīng)過（-5，0），

∴y3=a(x-1)(x+5)=ax2+4ax-5a;

設(shè)y=y3-y2=ax2+4ax-5a-(2x-2)=ax2+(4a-2)x+(2-5a);

對(duì)于x的同一個(gè)值，這三個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y1≥y3≥y2成立，

∴y3-y2≥0，

∴y=ax2+(4a-2)x+(2-5a)≥0;

根據(jù)y1、y2的圖象知：a>0,

∴（4a-2)2-4a(2-5a)≤0，即（3a-1)2≤0,

故a=，所以y3=.

考點(diǎn)：二次函數(shù)的綜合題.