【題目】△ABC中∠B=45°,∠C=30°,點DBC邊上任意一點,連接AD,將線段ADA順時針旋轉90°,得到線段AE,連接DE

1)如圖1,點E落在BA的延長線上時,∠EDC= (度)直接填空.

2)如圖2,點D在運動過程中,DEAC時,AB=4 ,求DE的值.

3)如圖3,點F為線段DE中點,AB=,求出動點DB運動到C,點F經(jīng)過的路徑長度.

【答案】190°;(2DE=;(3

【解析】

1)利用三角形的外角的性質即可解決問題;

2)過點AAMBCM,過點DDHABH,構建直角三角形,利用特殊角的三角函數(shù)值求出BM、CM,設設BH=DH=x,利用三角函數(shù)列出方程,求出BD,進而求得答案;

3)根據(jù)主從聯(lián)動的原理,可知點F的軌跡是線段BC順時針旋轉45度,再縮短為根號二分之一,求出BC即可.

解:(1)如圖1

∵將線段ADA順時針旋轉90°,得到線段AE,

AE=AD,∠AED=ADE=45°

∵∠B=45°,

∴∠EDC=B+AED=90°

故答案為:90°

2)如圖2,過點AAMBCM,過點DDHABH,

RtABM中,∠B=45°, AMBC,AB=4

AM=BM=

RtDHB中,∠B=45°, DHAB,設BH=DH=x,

BD=

RtAMC中,∠AMC=90°, ACB=30°,

CM=

DEAC,AE=AD

AC是線段DE的垂直平分線,

CD=CE,∠ECA=DCA=30°

∴∠ECD=60°

∴△CDE是等邊三角形

∴∠EDC=60°,CD=DE

∴∠ADH=180°-EDC-ADE-BDH=30°

RtADH中,AH=4-x,

tanADH=

AH=

=4-x

BD=

DM=BD-BM==

CD=CM-DM=-()=

DE=

3)如圖3,連接AF,AAMBC,

∵△ADE為等腰直角三角形,FED中點,

∴∠DAF=45°,

AF相當于AD逆時針旋轉了45°,再變?yōu)?/span>AD,

又∵點D軌跡為BC,∴點F的軌跡為BC逆時針旋轉45°,再變?yōu)?/span>BC,

在等腰RtABM中,AB=,∴AM=BM=

RtACM中,∠ACM=30°,

tan30°=,

CM=

BC=CM+BM=

∴點F的路徑為:BC=

所以點F的路徑為:

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