Question

探究：如圖①，在矩形ABCD中，點E為CD的中點，連結(jié)AE并延長交BC的延長線于點F，過點E作EM⊥AF交BC于點M，連結(jié)AM．求證：∠DAE=∠MAE．
應用：如圖②，在梯形ABCD中，AD∥BC，點E為CD的中點，連結(jié)AE，過點E作EM⊥AE交BC于點M，連結(jié)AM．若∠EMC=75°，求∠DAE的度數(shù)．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),矩形的性質(zhì),梯形

專題：

分析：探究：根據(jù)線段中點的定義可得DE=CE，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠D=∠ECF，再利用“角邊角”證明△ADE和△FCE全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AE=EF，全等三角形對應角相等可得∠DAE=∠F，再求出EM垂直平分AF，根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得到AM=MF，根等邊對等角可得∠MAE=∠F，然后等量代換即可得證；
應用：由探究可知∠EMC=∠AME，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠MAE，然后根據(jù)∠DAE=∠MAE解答即可．

解答：解：探究：∵點E為CD的中點，
∴DE=CE，
∵矩形對邊AD∥BC，
∴∠D=∠ECF，
在△ADE和△FCE中，

∠D=∠ECF DE=CE ∠AED=∠FEC

，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AE=EF，∠DAE=∠F，
∵EM⊥AF，
∴EM垂直平分AF，
∴AM=MF，
∴∠MAE=∠F，
∴∠DAE=∠MAE；

應用：在前面的證明中可知，∠AME=∠EMC，
在Rt△AEM中，∠MAE=90°-∠AME=90°-75°=15°，
又∵∠DAE=∠MAE，
∴∠DAE=15°．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，梯形的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法并準確識圖是解題的關鍵．