【題目】已知,在平面直角從標系中,A點坐標為(0,4),B點坐標為(2,0),C(m,6)為反比例函數(shù)y=圖象上一點.將AOB繞B點旋轉(zhuǎn)至A′O′B處.

(1)求m的值;

(2)若O′落在OC上,連接AA′交OC與D點.求證:四邊形ACA′O′為平行四邊形; 求CD的長度;

(3)直接寫出當(dāng)AO′最短和最長時A′點的坐標.

【答案】(1);(2)證明詳見解析;﹣1;(3) 當(dāng)AO′最短時A′點的坐標(),當(dāng)AO′最長時A′點的坐標().

【解析】

試題分析:(1)只需把點C的坐標代入反比例函數(shù)的解析式,就可解決問題;

(2)過點C作CHy軸與H,如圖1,易證AC=OA=O′A′,要證四邊形ACA′O′為平行四邊形,只需證ACO′A′,只需證ACO=A′O′C即可;

由平行四邊形ACA′O′可得CD=CO′,要求CD,只需求CO′,只需求出OC及OO′即可;

(3)根據(jù)兩點之間線段最短可知:當(dāng)點O′在線段AB上時AO′最短(如圖2),當(dāng)點O′在線段AB的延長線上時AO′最長(如圖3);過點O′作O′Nx軸于N,過點A′作A′MO′N于M,易證BNO′∽△BOA,A′MO′∽△O′NB,然后只需運用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題.

試題解析:(1)C(m,6)為反比例函數(shù)y=圖象上一點,

m==;

(2)過點C作CHy軸與H,如圖1.

點C的坐標為(,6),

CH=,OH=6,

tanCOH=,AC==4,

∴∠COH=30°,OA=AC,

∴∠BOO′=60°,ACO=AOC=30°.

BO′=BO,

∴∠BO′O=BOO′=60°.

∵∠A′O′B=AOB=90°,

∴∠CO′A′=30°,

∴∠ACO=CO′A′,

ACO′A′.

O′A′=OA=AC,

四邊形ACA′O′為平行四邊形;

②∵BO′=BO,BOO′=60°,

∴△BOB′是等邊三角形,

OO′=OB=2.

∵∠CHO=90°,CH=,OH=6,

OC=

CO′=OC﹣OO′=﹣2.

四邊形ACA′O′為平行四邊形,

CD=O′D=CO′=﹣1;

(3)當(dāng)AO′最短時A′點的坐標(,),當(dāng)AO′最長時A′點的坐標(,).

提示:當(dāng)點O′在線段AB上時,AO′最短,

過點O′作O′Nx軸于N,過點A′作A′MO′N于M,如圖2.

O′NOA,

∴△BNO′∽△BOA,

,

,

BN=,O′N=

∵∠A′MO′=A′O′B=O′NB=90°,

∴∠MA′O′=NO′B,

∴△A′MO′∽△O′NB,

==2,

==,

A′()即(,);

當(dāng)點O′在線段AB延長線上時,AO′最長,

過點O′作O′Nx軸于N,過點A′作A′MO′N于M,如圖3.

同理可得:A′(,).

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