Question

如圖，在△ABC中，AB=3cm，BC=4cm，D是BC中點(diǎn)，E是AB中點(diǎn)，且AD⊥CE，垂足為F，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理,三角形的重心

專題：計(jì)算題

分析：連接DE，BF，延長(zhǎng)AD作BH⊥AD于H，由D，E分別為BC，AB的中點(diǎn)，可得DE∥AC，AE=BE=

1

2

AB=

3

2

，BD=DC=

1

2

BC=2，再根據(jù)三角形的面積得到AF=2DF，同理可得：CF=2EF，再根據(jù)勾股定理即可得到AC的長(zhǎng)．

解答：解：如圖，連接DE，BF，延長(zhǎng)AD作BH⊥AD于H
∵D，E分別為BC，AB的中點(diǎn)
∴DE∥AC，AE=BE=

1

2

AB=

3

2

，BD=DC=

1

2

BC=2
∴S_△AEF=S_△BEF，S_△BDF=S_△CDF，S_△ACD=S_△ACE
∴S_△AEF=S_△ACE-S_△ACF=S_△ACD-S_△ACF=S_△CDF
∴S_△AEF=S_△BEF=S_△BDF=S_△CDF
∴S△ABF=S_△AEF+S_△BEF=2S_△BDF
即：

1

2

AF×BH=2×

1

2

DF×BH
∴AF=2DF
同理可得：CF=2EF
設(shè)FF=a，DF=b，則CF=2a，AF=2b
∵AD⊥CF
∴EF²+AF²=AE²；DF²+CF²=DC²，AF²+CF²=AC²
即：

a2+(2b)2=( 3 2 )2① (2a)2+b2=22②

（①+②）÷5得：a²+b²=

5

4

，
∴4a²+4b²=5，
即：CF²+AF²=5=AC²，
∴AC=

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，三角形的面積，方程思想，主要考查了學(xué)生的推理能力，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．