【題目】如圖,拋物線與x軸交于A(x1,0)、B(x2,0)兩點,且x1>x2,與y軸交于點C(0,4),其中x1、x2是方程x2-2x-8=0的兩個根.
(1)求這條拋物線的解析式;
(2)點P是線段AB上的動點,過點P作PE∥AC,交BC于點E,連接CP,當△CPE的面積最大時,求點P的坐標;
(3)探究:若點Q是拋物線對稱軸上的點,是否存在這樣的點Q,使△QBC成為等腰三角形?若存在,請直接寫出所有符合條件的點Q的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=-0.5x2+x+4;(2)P(1,0);(3)存在,Q1(1,1),Q2(1, )Q3(1,-),Q4(1,4+),Q5(1,4-)
【解析】試題分析: (1)先通過解方程求出A,B兩點的坐標,然后根據(jù)A,B,C三點的坐標,用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;(2)本題要通過求△CPE的面積與P點橫坐標的函數(shù)關系式而后根據(jù)函數(shù)的性質來求△CPE的面積的最大值以及對應的P的坐標.△CPE的面積無法直接表示出,可用△CPB和△BEP的面積差來求,設出P點的坐標,即可表示出BP的長,可通過相似三角形△BEP和△BAC求出.△BEP中BP邊上的高,然后根據(jù)三角形面積計算方法即可得出△CEP的面積,然后根據(jù)上面分析的步驟即可求出所求的值;(3)本題要分三種情況進行討論:①Q(mào)C=BC,那么Q點的縱坐標就是C點的縱坐標減去或加上BC的長.由此可得出Q點的坐標.②QB=BC,此時Q,C關于x軸對稱,據(jù)此可求出Q點的坐標.③QB=QC,Q點在BC的垂直平分線上,可通過相似三角形來求出QC的長,進而求出Q點的坐標;
試題解析:
(1)∵x2-2x-8=0,
∴(x-4)(x+2)=0.
∴x1=4,x2=-2.
∴A(4,0),B(-2,0).
又∵拋物線經(jīng)過點A、B、C,設拋物線解析式為y=ax2+bx+c(a≠0),
∴
解得
∴所求拋物線的解析式為y=-0.5x2+x+4;
(2)設P點坐標為(m,0),過點E作EG⊥x軸于點G,如圖所示:
∵點B坐標為(-2,0),點A坐標(4,0),
∴AB=6,BP=m+2.
∵PE∥AC,
∴△BPE∽△BAC.
∴BP:AB=EG:CH
∴EG:4=(m+2):6
∴EG=(2m+4):3
∴S△CPE=S△CBP-S△EBP
=-1/3(m-1)2+3.
又∵-2≤m≤4,
∴當m=1時,S△CPE有最大值3.此時P點的坐標為(1,0);
(3)存在Q點,
∵BC= ,
設Q(1,n),
當BQ=CQ時,
則32+n2=12+(n-4)2,
解得:n=1,
即Q1(1,1);
當BC=BQ=,時,9+n2=20,
解得:n=± ,
∴Q2(1, ),Q3(1,-);
當BC=CQ=時, ,1+(n-4)2=20,
解得:n=4±
∴Q4(1,4+), Q5(1,4-);
綜上可得:坐標為Q1(1,1),Q2(1, )Q3(1,-),Q4(1,4+),Q5(1,4-).
點睛: 本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形面積的求法、三角形相似、探究等腰三角形的構成情況等知識點,綜合性強,考查學生分類討論,數(shù)形結合的數(shù)學思想方法.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,銳角三角形ABC中,直線l為BC的中垂線,直線m為∠ABC的角平分線,l與m相交于P點.若∠BAC=60°,∠ACP=24°,則∠ABP是( )
A.24°
B.30°
C.32°
D.36°
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:如圖AB∥EF,BC⊥CD,則∠α,∠β,∠γ之間的關系是( )
A.∠β=∠α+∠γ
B.∠α+∠β+∠γ=180°
C.∠α+∠β﹣∠γ=90°
D.∠β+∠γ﹣∠α=90°
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】用四舍五入法按要求對3.1415926分別取近似值,其中錯誤的是( 。
A. 3.1(精確到0.1) B. 3.141(精確到千分位)
C. 3.14(精確到百分位) D. 3.1416(精確到0.0001)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為減少環(huán)境污染,自2008年6月1日起,全國的商品零售場所開始實行“塑料購物袋有償使用制度”(以下簡稱“限塑令”).某班同學于6月上旬的一天,在某超市門口采用問卷調(diào)查的方式,隨機調(diào)查了“限塑令”實施前后,顧客在該超市用購物袋的情況,以下是根據(jù)100位顧客的100份有效答卷畫出的統(tǒng)計圖表的一部分:
“限塑令”實施后,塑料購物袋使用后的處理方式統(tǒng)計表
處理方式 | 直接丟棄 | 直接做垃圾袋 | 再次購物使用 | 其它 |
選該項的人數(shù)占 總人數(shù)的百分比 | 5% | 35% | 49% | 11% |
請你根據(jù)以上信息解答下列問題:
(1)補全圖1,“限塑令”實施前,如果每天約有2 000人次到該超市購物.根據(jù)這100位顧客平均一次購物使用塑料購物袋的平均數(shù),估計這個超市每天需要為顧客提供多少個塑料購物袋?
(2)補全圖2,并根據(jù)統(tǒng)計圖和統(tǒng)計表說明,購物時怎樣選用購物袋,塑料購物袋使用后怎樣處理,能對環(huán)境保護帶來積極的影響.
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