Question

（本小題滿分12分）我們新定義一種三角形：兩邊平方和等于第三邊平方的兩倍的三角形叫做奇異三角形．

（1）根據(jù)“奇異三角形”的定義，請(qǐng)你判斷命題“等邊三角形一定是奇異三角形”是真命題還是假命題?

（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b>a，若Rt△ABC是奇異三角形，求a：b：c；

（3）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），D是半圓的中點(diǎn)，C，D在直徑AB的兩側(cè)，若在⊙O內(nèi)存在點(diǎn)E，使AE=AD，CB=CE．

①求證：△ACE是奇異三角形；

②當(dāng)△ACE是直角三角形時(shí)，求∠AOC的度數(shù)．

Answer 1

（1）真命題．（2）a：b：c=1：：．（3）①見(jiàn)解析②60°或120°．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為a，代入檢驗(yàn)即可；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理可得

a2+b2=c2①，因?yàn)镽t△ABC是奇異三角形，且b＞a，所以a2+c2=2b2②，然后可得b=a，c=a，代入可求；（3）①要證明△ACE是奇異三角形，只需證AC2+CE2=2AE2即可；②由①可得ΔACE是奇異三角形，所以AC2+CE2=2AE2． 當(dāng)ΔACE是直角三角形時(shí)，由（2）可得AC：AE：CE=1：：或AC：AE：CE=：： 1．然后分兩種情況討論.

試題解析：【解析】
（1）真命題． （2分）

（2）在RtΔABC中，a2+b2=c2，

∵c>b>a>0，∴2c2>a2+b2，2a2<b2+c2，

若△ABC是奇異三角形，一定有2b2=a2+c2， （3分）

∴2b2=a2+（a2+b2），∴b2=2a2，得b=a．

∵c2=b2+a2=3a2，∴c=a，

∴a：b：c=1：：． （5分）

（3）在RtΔABC中，a2+b2=c2，

①證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=∠ADB=90°，

在RtΔACB中，AC2+BC2=AB2；

在RtΔADB中，AD2+BD2=AB2．

∵D是半圓的中點(diǎn)，∴，

∴AD=BD， （6分），

∴AB2=AD2+BD2=2AD2， （7分）

又∵CB=CE．AE=AD，∴AC2+CE2=2AE2．

∴ΔACE是奇異三角形． （8分）

②由①可得ΔACE是奇異三角形，∴AC2+CE2=2AE2．

當(dāng)ΔACE是直角三角形時(shí)，

由（2）可得AC：AE：CE=1：：或AC：AE：CE=：： 1．

（Ⅰ）當(dāng)AC：AE：CE=1：：時(shí)，

AC：CE=1：，即AC：CB=1：．

∵∠ACB=900，．∴∠ABC=30°，

∴∠AOC=2∠ABC=60°． （10分）

（Ⅱ）當(dāng)AC：AE：CE=：：1時(shí)，

AC：CE=：1，即AC：CB=：1．

∵∠ACB=90°，∴∠ABC=60°，

∴∠AOC=2∠ABC=120°，

∴∠AOC的度數(shù)為60°或120°． （12分）

考點(diǎn)：1.命題；2.勾股定理；3.圓周角定理及推論；4.直角三角形的性質(zhì).