Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，EF∥BC交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，分別以AE、AF為邊在△ABC的外部作等邊△AEG和△AFH，BF、CG交于點(diǎn)O．求證：
（1）BH=CG；
（2）AO平分∠BAC．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)已知條件結(jié)合圖形可以判斷△AGC≌△AHB，利用全等三角形的性質(zhì)即可證明BH=CG；
（2）觀察圖形容易發(fā)現(xiàn)，欲證明AO平分∠BAC，只要證明△ABO≌△ACO，為此只需證明OB=OC，∠ABO=∠ACO．

解答：解：（1）∵△AEG和△AFH均為等邊三角形，
∴∠GAE=∠HAF=60°，AG=AE，AH=AF；
∵∠GAC=∠GAE+∠EAC，∠HAB=∠HAF+∠FAB，
∴∠GAC=∠HAB；
∵EF∥BC，
∴

AE

AB

=

AF

AC

，而AB=AC，
∴AE=AF．
又∵AG=AE，AH=AF，
∴AG=AH；
在△AGC與△AHB中，

AG=AH ∠GAC=∠HAB AC=AB

，
∴△AGC≌△AHB（SAS），
∴BH=CG．
（2）∵AB=AC，AE=AF，
∴BE=CF；
又∵EF∥BC，
∴四邊形BCFE為等腰梯形，
故∠EBC=∠FCB，EC=FB；
在△EBC與△FCB中，

BE=CF EC=FB BC=CB

，
∴△EBC≌△FCB（SSS），
∴∠OCB=∠OBC，故OB=OC；
又∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ABO=∠ACO；
在△ABO與△ACO中，

AB=AC ∠ABO=∠ACO OB=OC

，
∴△ABO≌△ACO（SAS），
∴∠BAO=∠CAO，
即AO平分∠BAC．

點(diǎn)評(píng)：考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．