Question

如圖1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD=2：3：4，

（1）試說明△ABC是等腰三角形；

（2）已知S_△ABC=40cm²，如圖2，動點M從點B出發(fā)以每秒1cm的速度沿線段BA向點A 運(yùn)動，同時動點N從點A出發(fā)以相同速度沿線段AC向點C運(yùn)動，當(dāng)其中一點到達(dá)終點時整個運(yùn)動都停止．設(shè)點M運(yùn)動的時間為t（秒），

①若△DMN的邊與BC平行，求t的值；

②若點E是邊AC的中點，問在點M運(yùn)動的過程中，△MDE能否成為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【考點】勾股定理；等腰三角形的判定與性質(zhì)．

【專題】動點型．

【分析】（1）設(shè)BD=2x，AD=3x，CD=4x，則AB=5x，由勾股定理求出AC，即可得出結(jié)論；

（2）由△ABC的面積求出BD、AD、CD、AC；①當(dāng)MN∥BC時，AM=AN；當(dāng)DN∥BC時，AD=AN；得出方程，解方程即可；

②根據(jù)題意得出當(dāng)點M在DA上，即4＜t≤10時，△MDE為等腰三角形，有3種可能：如果DE=DM；如果ED=EM；如果MD=ME=t﹣4；分別得出方程，解方程即可．

【解答】（1）證明：設(shè)BD=2x，AD=3x，CD=4x，

則AB=5x，

在Rt△ACD中，AC==5x，

∴AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形；

（2）解：S_△ABC=×5x×4x=40cm²，而x＞0，

∴x=2cm，

則BD=4cm，AD=6cm，CD=8cm，AC=10cm．

①當(dāng)MN∥BC時，AM=AN，

即10﹣t=t，

∴t=5；

當(dāng)DN∥BC時，AD=AN，

得：t=6；

∴若△DMN的邊與BC平行時，t值為5或6．

②當(dāng)點M在BD上，即0≤t＜4時，△MDE為鈍角三角形，但DM≠DE；

當(dāng)t=4時，點M運(yùn)動到點D，不構(gòu)成三角形

當(dāng)點M在DA上，即4＜t≤10時，△MDE為等腰三角形，有3種可能．

如果DE=DM，則t﹣4=5，

∴t=9；

如果ED=EM，則點M運(yùn)動到點A，

∴t=10；

如果MD=ME=t﹣4，則（t﹣4）²﹣（t﹣7）²=4²，

∴t=；

綜上所述，符合要求的t值為9或10或．

【點評】本題考查了勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、解方程等知識；本題有一定難度，需要進(jìn)行分類討論才能得出結(jié)果．