Question

【題目】如圖，在中，弦垂直于直徑，垂足為，連結(jié)，將沿翻轉(zhuǎn)得到，直線與直線相交于點(diǎn)．

（1）求證：是的切線；

（2）若為的中點(diǎn)，①求證：四邊形是菱形；②若，求的半徑長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析，②4

【解析】

（1）連接OC，由OA=OC得∠OAC=∠OCA，結(jié)合折疊的性質(zhì)得∠OCA=∠FAC，于是可判斷OC∥AF，然后根據(jù)切線的性質(zhì)得直線FC與⊙O相切；

（2）①連接OD、BD，利用直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)可證得CB=OC=OD=BD，再根據(jù)菱形的判定定理即可判定；

②首先證明△OBC是等邊三角形，在Rt△OCE中，根據(jù)，構(gòu)建方程即可解決問題；

（1）如圖，連接OC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

由翻折的性質(zhì)，有∠OAC=∠FAC，∠AEC=∠AFC=90°，

∴∠FAC=∠OCA，

∴∥AF，

∴∠OCG=∠AFC=90°，

故FG是⊙O的切線；

（2）①如圖，連接OD、BD，

∵CD垂直于直徑AB，

∴OC=OD，BC=BD，

又∵B為OG的中點(diǎn)，

∴，

∴CB=OB，

又∵OB=OC，

∴CB=OC，

則有CB=OC=OD=BD，

故四邊形OCBD是菱形；

②由①知，△OBC是等邊三角形，

∵CD垂直于直徑AB，

∴，

∴，

設(shè)⊙O的半徑長為R，

在Rt△OCE中，

有，即，

解之得：，

⊙O的半徑長為：4．