【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于H,過CD延長線上一點(diǎn)E作⊙O的切線交AB的延長線于切點(diǎn)為G,連接AG交CD于K.
(1)求證:KE=GE;
(2)若KG2=KDGE,試判斷AC與EF的位置關(guān)系,并說明理由;
(3)在(2)的條件下,若sinE=,AK=,求FG的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)AC∥EF,證明見解析;(3)FG= .
【解析】試題分析:(1)如圖1,連接OG.根據(jù)切線性質(zhì)及CD⊥AB,可以推出∠KGE=∠AKH=∠GKE,根據(jù)等角對等邊得到KE=GE;
(2)AC與EF平行,理由為:如圖2所示,連接GD,由∠KGE=∠GKE,及KG2=KDGE,利用兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似可得出△GKD與△EKG相似,又利用同弧所對的圓周角相等得到∠C=∠AGD,可推知∠E=∠C,從而得到AC∥EF;
(3)如圖3所示,連接OG,OC,先求出KE=GE,再求出圓的半徑,根據(jù)勾股定理與垂徑定理可以求解;然后在Rt△OGF中,解直角三角形即可求得FG的長度.
試題解析:(1)如圖1,連接OG.
∵EG為切線,
∴∠KGE+∠OGA=90°,
∵CD⊥AB,
∴∠AKH+∠OAG=90°,
又∵OA=OG,
∴∠OGA=∠OAG,
∴∠KGE=∠AKH=∠GKE,
∴KE=GE.
(2)AC∥EF,理由為連接GD,如圖2所示.
∵KG2=KDGE,即 ,
∴ ,
又∵∠KGE=∠GKE,
∴△GKD∽△EGK,
∴∠E=∠AGD,
又∵∠C=∠AGD,
∴∠E=∠C,
∴AC∥EF;
(3)連接OG,OC,如圖3所示,
∵EG為切線,
∴∠KGE+∠OGA=90°,
∵CD⊥AB,
∴∠AKH+∠OAG=90°,
又∵OA=OG,
∴∠OGA=∠OAG,
∴∠KGE=∠AKH=∠GKE,
∴KE=GE.
∵sinE=sin∠ACH=
,設(shè)AH=3t,則AC=5t,CH=4t,
∵KE=GE,AC∥EF,
∴CK=AC=5t,
∴HK=CK-CH=t.
在Rt△AHK中,根據(jù)勾股定理得AH2+HK2=AK2,
即(3t)2+t2=(2 )2,解得t= .
設(shè)⊙O半徑為r,在Rt△OCH中,OC=r,OH=r-3t,CH=4t,
由勾股定理得:OH2+CH2=OC2,
即(r-3t)2+(4t)2=r2,解得r= t=.
∵EF為切線,
∴△OGF為直角三角形,
在Rt△OGF中,OG=r=,tan∠OFG=tan∠CAH= ,
∴FG=
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,黑、白兩個甲殼蟲同時從點(diǎn)A出發(fā),以相同的速度分別沿棱向前爬行,黑甲殼蟲爬行的路線是AA1→A1D1→……,白甲殼蟲爬行的路線是AB→BB1→……,并且都遵循如下規(guī)則:所爬行的第n+2與第n條棱所在的直線必須是既不平行也不相交(其中n是正整數(shù)).那么當(dāng)黑、白兩個甲殼蟲各爬行完第2015條棱分別停止在所到的正方體頂點(diǎn)處時,它們之間的距離是( ).
A.0 B.1 C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,對于點(diǎn)P(x , y)和Q(x , y′),給出如下定義:若 ,則稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“可控變點(diǎn)”.例如:點(diǎn)(1,2)的“可控變點(diǎn)”為點(diǎn)(1,2).
結(jié)合定義,請回答下列問題:
(1)點(diǎn)(-3,4)的“可控變點(diǎn)”為點(diǎn) .
(2)若點(diǎn)N(m,2)是函數(shù) 圖象上點(diǎn)M的“可控變點(diǎn)”,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為;
(3)點(diǎn)P為直線 上的動點(diǎn),當(dāng)x≥0時,它的“可控變點(diǎn)”Q所形成的圖象如下圖所示(實(shí)線部分含實(shí)心點(diǎn)).請補(bǔ)全當(dāng)x<0時,點(diǎn)P的“可控變點(diǎn)” Q所形成的圖象;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】吸煙有害健康,為配合“戒煙”運(yùn)動,某校組織同學(xué)們在社區(qū)開展了“你支持哪種戒煙方式”的隨機(jī)問卷調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖:據(jù)統(tǒng)計(jì)圖解答下列問題:
(1)同學(xué)們一共調(diào)查了多少人?
(2)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整。
(3)若該社區(qū)有1萬人,請你估計(jì)大約有多少人支持“警示戒煙”這種方式?
(4)為了讓更多的市民增強(qiáng)“戒煙”意識,同學(xué)們在社區(qū)做了兩期“警示戒煙”的宣傳。若每期宣傳后,市民支持“警示戒煙”的平均增長率為20%,則兩期宣傳后支持“警示戒煙”的市民約有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知線段AB和CD的公共部分BD=AB= CD,線段AB、CD的中點(diǎn)E,F之間距離是10cm,求AB,CD的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐探究活動中,大家遇到了這樣的問題:
如圖,在一個圓柱體形狀的包裝盒的底部A處有一只壁虎,在頂部B處有一只小昆蟲,壁虎沿著什么路線爬行,才能以最短的路線接近小昆蟲?
楠楠同學(xué)設(shè)計(jì)的方案是壁虎沿著A﹣C﹣B爬行;
浩浩同學(xué)設(shè)計(jì)的方案是將包裝盒展開,在側(cè)面展開圖上連接AB,然后壁虎在包裝盒的表面上沿著AB爬行.
在這兩位同學(xué)的設(shè)計(jì)中,哪位同學(xué)的設(shè)計(jì)是最短路線呢?他們的理論依據(jù)是什么?( 。
A. 楠楠同學(xué)正確,他的理論依據(jù)是“直線段最短”
B. 浩浩同學(xué)正確,他的理論依據(jù)是“兩點(diǎn)確定一條直線”
C. 楠楠同學(xué)正確,他的理論依據(jù)是“垂線段最短”
D. 浩浩同學(xué)正確,他的理論依據(jù)是“兩點(diǎn)之間,線段最短”
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列計(jì)算正確的是( )
A.x2+x2=x4
B.x2+x3=2x5
C.3x﹣2x=1
D.x2y﹣2x2y=﹣x2y
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商人在一次買賣中均以120元賣出兩件衣服,一件賺25%,一件賠25%,在這次交易中,該商人( )
A.賺16元
B.賠16元
C.不賺不賠
D.無法確定
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