Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC的中點(diǎn)，若sin∠BAD=

1

3

，求sin∠BAC的值．

Answer 1

考點(diǎn)：解直角三角形

專題：

分析：設(shè)DE=k，BD=CD=x，BC=2x．先在Rt△ADE中，由sin∠EAD=

DE

AD

=

1

3

，得出AD=3DE=3k，根據(jù)勾股定理求得AE=

AD2-DE2

=2

2

k，在Rt△BDE中，由勾股定理求出BE=

BD2-DE2

=

x2-k2

，于是AB=AE+BE=2

2

k+

x2-k2

．然后根據(jù)AC的長(zhǎng)度不變得出AD²-CD²=AB²-BC²，即9k²-x²=（2

2

k+

x2-k2

）²-4x²，解方程求出x=

3

k，然后在Rt△ABC中利用正弦函數(shù)的定義即可求解．

解答：解：設(shè)DE=k，BD=CD=x，BC=2x．
∵在Rt△ADE中，∠AED=90°，sin∠EAD=

DE

AD

=

1

3

，
∴AD=3DE=3k，
∴AE=

AD2-DE2

=2

2

k．
∵在Rt△BDE中，∠BED=90°，
∴BE=

BD2-DE2

=

x2-k2

，
∴AB=AE+BE=2

2

k+

x2-k2

．
∵∠C=90°，
∴AD²-CD²=AB²-BC²，
即9k²-x²=（2

2

k+

x2-k2

）²-4x²，
解得x²=3k²，
即x=

3

k，或x=-

3

k（不合題意舍去），
經(jīng)檢驗(yàn)，x=

3

k是原方程的解，
∴BC=2

3

k，
AB=AE+BE=2

2

k+

x2-k2

=2

2

k+

2

k=3

2

k，
∴sin∠BAC=

BC

AB

=

2 3 k

3 2 k

=

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，難度適中．設(shè)DE=k，BD=CD=x，利用勾股定理列出方程9k²-x²=（2

2

k+

x2-k2

）²-4x²是解題的關(guān)鍵，本題也考查了解無理方程的能力．