Question

【題目】如圖1，拋物線y＝ax2+bx+4與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C．直線y＝2經過拋物線上兩點D，E．已知點D，E的橫坐標分別為x1，x2且滿足x1+x2＝3，直線BC的表達式為y＝﹣x+n．

（1）求n的值及拋物線的表達式；

（2）設點Q是直線DE上一動點，問：點Q在什么位置上時，△QOB的周長最小？求出點Q的坐標及△QOB周長的最小值；

（3）如圖2，M是線段OB上的一個動點，過點M作垂直于x軸的直線與直線BC和拋物線分別交于點P，N．若點F是直線BC上一個動點，當點P恰好是線段MN的中點時，在坐標平面內是否存在點G，使以點G，F，P，M為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點G的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4;（2）4+4;（3）存在,G坐標為（）或（）或（﹣）．

【解析】

（1）由拋物線過點C可求C的坐標，由直線也過點C即求出n的值；得到n的值即有直線BC的關系式，即能求BC與x軸交點B的坐標，又由DE∥x軸且其橫坐標滿足x1+x2＝3，即得到拋物線對稱軸﹣，再把點B坐標代入拋物線關系式得方程組，解得a、b的值即可；

（2）由于點Q在直線y＝2上運動，要求的是OQ+BQ的最小值，O、B是定點，故尋找O或B關于直線y＝2的對稱點．由C（0，4）得C與O關于直線y＝2對稱，則有CQ＝OQ，當點C、Q、B在同一直線上時有最小值．求直線BC上y＝2時的橫坐標，即為Q的坐標．計算BC與OB的和即為△QOB周長最小值；

（3）先根據題意設點M、P、N坐標，利用P為MN中點的等量關系求出點P、M坐標．再對菱形四個頂點位置作討論：①以PM為菱形的邊，此時又分兩種情況，分別是點F在點P左右側的討論．當F在P左側時，根據菱形性質和GM與x軸夾角為45°易求G的坐標；當F在P右側時，根據對稱性即求出G的坐標．②以PM為菱形對角線，利用對角線互相垂直平分的性質即求出點G坐標．

（1）當x＝0時，拋物線y＝ax2+bx+4＝4，

∴C（0，4），

∵點C在直線BC：y＝﹣x+n上，

∴n＝4，

∵直線BC與x軸交點為B，﹣x+4＝0，解得：x＝4，

∴B（4，0），

∵點B在拋物線上，

∴16a2+4b+4＝0 ①

∵yD＝yE＝2，

∴DE∥x軸，點D、E關于拋物線對稱軸對稱，

∵x1+x2＝3，

∴拋物線對稱軸為：直線x＝＝，

∴②

聯立方程①②解得：，

∴拋物線的表達式為y＝﹣x2+3x+4；

（2）連接CQ，如圖1，

∵C（0，4），點Q是直線y＝2上一動點，

∴O、C關于直線y＝2對稱，

∴CQ＝OQ，

∴當點C、Q、B在同一直線上時，OQ+BQ＝CQ+BQ＝BC最短，

當﹣x+4＝2時，解得：x＝2，

∴此時，Q（2，2），

∵OB＝OC＝4，

∴BC＝，

∴△QOB周長最小值為：C△QOB＝OQ+BQ+OB＝BC+OB＝4+4；

（3）存在滿足條件的點G，

設M（m，0）（0＜m＜4），則P（m，﹣m+4），N（m，﹣m2+3m+4），

∵點P是MN中點，

∴MN＝2PM，

∴﹣m2+3m+4＝2（﹣m+4），

解得：m1＝1，m2＝4（舍去），

∴M（1，0），P（1，3），PM＝3，

①若PM為菱形的邊，菱形GFPM中，點F在點P左側，如圖2，延長FG交x軸于點H，

∵FP＝PM＝FG＝GM＝3，FG∥PM，FG∥GM，

∴∠GHM＝90°，∠GMH＝∠CBO＝45°，

∴MH＝GH＝GM＝，

∴xG＝xM﹣＝，yG＝GH＝，

∴G（，）；

②若PM為菱形的邊，菱形GFPM中，點F在點P右側，如圖3，

根據與圖2的對稱關系可得G（，﹣）

③若PM為菱形的對角線，菱形GPFM中，如圖4，

設PM與GF交于點I，

∴PI＝MI＝PM＝，GI＝IF，PM⊥GF，

∴GF∥x軸，yF＝yI＝yG＝，

∴∠PFI＝∠CBO＝45°，

∴GI＝IF＝PI＝，

∴xG＝xI﹣＝﹣，

∴G（﹣，），

綜上所述，滿足條件的點G坐標為（）或（）或（﹣）．