Question

已知：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0），頂點(diǎn)C（1，﹣4），與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N（0，﹣3）．

（1）求這條拋物線的解析式；

（2）如圖，以AB為直徑作⊙M，與拋物線交于點(diǎn)D，與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)E，依次連接A、D、B、E，點(diǎn)Q為線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（Q與A、B兩點(diǎn)不重合），過點(diǎn)Q作QF⊥AE于F，QG⊥DB于G，請判斷是否為定值？若是，請求出此定值；若不是，請說明理由；

（3）請求出拋物線與（2）中⊙M的所有交點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

       解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣1）²﹣4，

將N（0，﹣3）代入解析式得：﹣3=a（0﹣1）²﹣4，

∴a=1，

∵拋物線的解析式為y=（x﹣1）²﹣4，即y=x²﹣2x﹣3；

（2）是定值：=1，

理由：∵AB是直徑，

∴∠AEB=90°，

∵QF⊥AE，

∴QF∥BE，

∴△AQF∽△ABE，

∴=，

同理：=，

∴====1；

（3）如圖所示，過點(diǎn)D作DN⊥AB，垂足為N．

令y=0得：x²﹣2x﹣3=0，解得：x₁=3，x₂=﹣1，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0）、點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，m²﹣2m﹣3），

∵AB是直徑，

∴∠ADB=90°．

∴∠ADN+∠NDB=90°．

∵∠NDB+∠DBN=90°，

∴∠ADN=∠DBN．

又∵∠AND=∠BND=90°，

∴△ADN∽△DBN．

∴，即：

解得：m₁=﹣1（舍去），m₂=3（舍去），，．

當(dāng)m=1﹣時(shí)，m²﹣2m﹣3==1，

當(dāng)m=1+時(shí)，m²﹣2m﹣3==1．

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1﹣，﹣1），點(diǎn)D′的坐標(biāo)為（1+，﹣1）．

綜上所述，拋物線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣1，0）、B（3，0）、D（1﹣，﹣1）、D′（1+，﹣1）．