Question

如圖，在⊙O中，兩條直徑AB、CD互相垂直，過(guò)BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)P作PM切⊙O于點(diǎn)M，過(guò)M作MN⊥AB于點(diǎn)N，連結(jié)AM．
（1）求證：∠PMA=∠AMN；
（2）若AP=AM，PM=6，求PB的長(zhǎng)；
（3）連結(jié)PD交⊙O于點(diǎn)E，連結(jié)OE、ND，若∠α=∠β，OD=2，求四邊形AEDB的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題,等腰三角形的性質(zhì),切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),特殊角的三角函數(shù)值

專題：綜合題

分析：（1）連接OM，由條件易得∠PMA+∠OMA=90°，∠AMN+∠MAO=90°，由OM=OA可得∠OMA=∠OAM，從而得到∠PMA=∠AMN．
（2）由AP=AM得∠MPA=∠PMA，在△PNM中，運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理可求出∠MPA的值，然后利用三角函數(shù)就可求出OM、OP的長(zhǎng)，就可求出PB的長(zhǎng)．
（3）過(guò)點(diǎn)E作EH⊥OA于點(diǎn)H，如圖2，易證△ONM∽△OMP，從而有

OM

OP

=

ON

OM

，由OM=OD得

OD

OP

=

ON

OD

，從而可以證到△NOD∽△DOP，進(jìn)而可以證到∠NDO=∠DPO=∠POE=α，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求出α的值，然后利用三角函數(shù)就可求出PO、EH的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出PA、PB的長(zhǎng)，就可求出四邊形AEDB的面積．

解答：（1）證明：連接OM，如圖1，
∵PM切⊙O于點(diǎn)M，
∴∠PMO=90°．
∴∠PMA+∠OMA=90°．
∵M(jìn)N⊥AB，
∴∠AMN+∠MAO=90°．
∵OM=OA，
∴∠OMA=∠OAM．
∴∠PMA=∠AMN．

（2）∵AP=AM，
∴∠解：MPA=∠PMA．
∴∠MPA=∠PMA=∠AMN．
∴∠MPA+∠PMN=90°．
∴3∠MPA=90°．
∴∠MPA=30°．
∴tan∠MPO=

OM

PM

=

OM

6

=

3

3

．
∴OM=2

3

．
∴OP=

OM2+PM2

=4

3

．
∴PB=PO+OB=PO+OM=6

3

．
∴PB的長(zhǎng)為6

3

．

（3）解：過(guò)點(diǎn)E作EH⊥OA于點(diǎn)H，如圖2，
∵∠MNO=∠PMO=90°，∠MON=∠POM，
∴△ONM∽△OMP．
∴

OM

OP

=

ON

OM

．
∵OM=OD，
∴

OD

OP

=

ON

OD

．
∵∠NOD=∠DOP，
∴△NOD∽△DOP．
∴∠NDO=∠DPO．
∵α=β即∠POE=∠NDO，
∴∠POE=∠DPO=α．
∴∠OED=2α．
∵OE=OD，
∴∠ODE=∠OED=2α．
∵∠POD=90°，
∴α+2α=90°．
∴α=30°．
∴∠PDO=60°．
∵EH⊥AO，
∴EH=

1

2

OE=

1

2

OD=1．
在Rt△POD中，
tan∠PDO=

OP

OD

=

OP

2

=

3

．
∴OP=2

3

．
∴AP=OP-OA=OP-OD=2

3

-2．
∴S_{四邊形AEDB}=S_△DBP-S_△EAP
=

1

2

BP•OD-

1

2

AP•EH
=

1

2

×（2

3

+2）×2-

1

2

×（2

3

-2）×1
=3+

3

．
∴四邊形AEDB的面積為3+

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、相似三角形的判定與性質(zhì)、30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理等知識(shí)，而證到△NOD∽△DOP是解決第（3）小題的關(guān)鍵．