Question

如圖，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點D，AE是∠BAC外角平分線，BE⊥AE，連接DE．
（1）求證：DA⊥AE；
（2）求證：四邊形DCAE是平行四邊形．

Answer 1

考點：平行四邊形的判定

專題：證明題

分析：（1）根據三線合一定理證明AD平分∠BAC，然后根據AE是∠BAC外角平分線，即可證得∠DAE=90°，即可證得DA⊥AE；
（2）根據平行四邊形的定義即可證得．

解答：證明：（1）∵AB=AC，AD⊥BC于點D，
∴∠CAD=∠BAD，即∠BAD=

1

2

∠BAC，
又∵AE是∠BAC外角平分線，即∠BAE=

1

2

∠BAF，
∴∠DAE=∠BAD+∠BAE=

1

2

（∠BAC+∠BAF）=90°，
∴DA⊥AE；
（2）∵AD⊥BC，DA⊥AE，
∴BD∥AE，即CD∥AE．
∵BE⊥AE，DA⊥AE，
∴BE∥AD，
∴四邊形BDAE是平行四邊形．
∴BD=AE，
又∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
又∵CD∥AE，
∴四邊形DCAE是平行四邊形．

點評：本題考查了平行四邊形的判定與等腰三角形的性質定理，等腰三角形的底邊上的中線、高線以及頂角的平分線，三線合一．