Question

滾鐵環(huán)是一項(xiàng)老少皆宜的體育運(yùn)動(dòng)，如圖，鐵環(huán)⊙O的半徑為34cm，且與地面AE切于點(diǎn)A．鉤BD的長(zhǎng)為4cm，柄BC的長(zhǎng)為69cm，且BD⊥BC于點(diǎn)B．某一時(shí)刻，DB的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)圓心O，且CB的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)A，這時(shí)，握手點(diǎn)C離地面的高度CE=

 

cm，點(diǎn)D到CE的距離DF的長(zhǎng)度為

 

cm．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：

分析：連接OA，延長(zhǎng)FD交OA于G，根據(jù)切線的性質(zhì)求得OA⊥AE，進(jìn)而求得∠AOB=∠CAE，從而求得△OAB∽△ACE，根據(jù)勾股定理求得AB，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求得CE，根據(jù)AAS求得△OAB≌△ODG，得出GD=AB=16cm，根據(jù)勾股定理求得AE，從而求得GF，即可求得DF的長(zhǎng)．

解答：解：連接OA，延長(zhǎng)FD交OA于G，
∵鐵環(huán)⊙O與地面AE切于點(diǎn)A．
∴OA⊥AE，
∴∠OAB+∠CAE=90°，
∵BD⊥BC，
∴∠OAB+∠AOB=90°，
∴∠AOB=∠CAE，
∵∠ABO=∠AEC=90°，
∴△OAB∽△ACE，
∴

AO

AC

=

AB

CE

，
∵OB=34-4=30cm，OA=34cm，
∴AB=

OA2-OB2

=16cm，
∴AC=16+69=85cm，
∴

34

85

=

16

CE

，解得，CE=40cm，
在△OAB和△ODG中，

∠AOB=∠DOG ∠ABO=∠DGO OA=OD

，
∴△OAB≌△ODG（AAS），
∴DG=AB=16cm，
∵GF=AE=

AC2-CE2

=

852-402

=75cm，
∴DF=GF-GD=75-16=59cm．
故答案為40，59．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用以及三角形全等的判定和性質(zhì)，解此題的關(guān)鍵是求出∠AOB=∠CAE，注意：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑．