19.如圖,一次函數(shù)y=-$\frac{3}{4}$x+6的圖象分別交y軸、x軸交于點A、B,點P從點B出發(fā),沿射線BA以每秒1個單位的速度出發(fā),設點P的運動時間為t秒.
(1)點P在運動過程中,若某一時刻,△OPA的面積為12,求此時P的坐標;
(2)在整個運動過程中,當t為何值時,△AOP為等腰三角形?(只需寫出t的值,無需解答過程)

分析 (1)根據(jù)坐標軸上點的坐標特征可求得A、B的坐標,用m表示出點P的坐標,利用面積可求得m的值,進一步求得P點坐標;
(2)可用t表示出BP、AP的長,分AP=AO、AP=OP和OP=AO三種情況,分別得到關于t的方程,可求得t的值.

解答 解:(1)當x=0時,y=6,
當y=0時,x=8,
則A(0,6),B(8,0),
AB=10,
設點P的坐標為(m,-$\frac{3}{4}$m+6),
∵△OPA的面積為12,
∴$\frac{1}{2}$×6×|m|=12,
解得:m=±4,
∴點P的坐標為(-4,9)或(4,3).
(2)由題意可知BP=t,AP=10-t,
當△AOP為等腰三角形時,有AP=AO、AP=OP和AO=OP三種情況.
①當AP=AO時,則有10-t=6,可解得t=4;
②當AP=OP時,過P作PM⊥AO,垂足為M,如圖1,

則M為AO中點,故P為AB中點,此時t=5;
③當AO=OP時,過O作ON⊥AB,垂足為N,過P作PH⊥OB,垂足為H,如圖2,

則AN=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{1}{2}$(10-t),
∵PH∥AO,
∴△AOB∽△PHB,
∴$\frac{PB}{PH}$=$\frac{AB}{AO}$,即$\frac{t}{PH}$=$\frac{10}{6}$,
∴PH=$\frac{3}{5}$t,
又∠OAN+∠AON=∠OAN+PBH=90°,
∴∠AON=∠PBH,且∠ANO=∠PHB,
∴△ANO∽△PHB,
∴$\frac{PB}{AO}$=$\frac{PH}{AN}$,即$\frac{t}{6}$=$\frac{\frac{3}{5}}{\frac{1}{2}(10-t)}$,解得t=$\frac{14}{5}$.
綜上可知當t的值為4、5和$\frac{14}{5}$時,△AOP為等腰三角形.

點評 本題主要考查一次函數(shù)的綜合應用,涉及知識點有坐標軸上點的坐標特征,等腰三角形的性質(zhì),在(2)中分三種情況討論,考查知識點較多,綜合性較強,但所考查知識比較基礎,難度適中.

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