Question

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°．點D為線段BC上一動點，將線段DA繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DE，連接CE，若AB=3CE，則tan∠BAD=

 

．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：計算題

分析：作AF⊥BC于F，DH⊥AB于H，EG⊥BC于G，AB=AC，∠BAC=90°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得AF=BF=CF，設AF=t，則BF=CF=t，AB=

2

t，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠1+∠2=90°，根據(jù)同角的余角相等得到∠2=∠3，易證得△ADF≌△DEG，得到DG=AF=t，DF=GE，則DF=CGEG=CG，得到△CEG為等腰直角三角形，
所以CG=

2

2

CE，由于AB=3CE=

2

t，所以CE=

2

3

t，CG=

1

3

t，DF=

1

3

t，可計算出BD=BF-DF=t-

1

3

t=

2

3

t，然后利用△BDH為等腰直角三角形得到BH=DH=

2

2

BD=

2

3

t，則AH=AB-BH=

2 2

3

t，在Rt△AHD中，根據(jù)正切的定義求解．

解答：解：作AF⊥BC于F，DH⊥AB于H，EG⊥BC于G，如圖，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴AF=BF=CF，
設AF=t，則BF=CF=t，AB=

2

t，
∵線段DA繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DE，
∴∠1+∠2=90°，DA=DE，
而∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
在△ADF和△DEG中，

∠3=∠2 ∠AFD=∠DGE AD=DE

，
∴△ADF≌△DEG（AAS），
∴DG=AF=t，DF=GE，
∴DG=CF，
∴DF=CG，
∴EG=CG，
∴△CEG為等腰直角三角形，
∴CG=

2

2

CE，
∵AB=3CE=

2

t，
∴CE=

2

3

t，
∴CG=

1

3

t，
∴DF=

1

3

t，
∴BD=BF-DF=t-

1

3

t=

2

3

t，
∵∠B=45°，
∴△BDH為等腰直角三角形，
∴BH=DH=

2

2

BD=

2

3

t，
∴AH=AB-BH=

2 2

3

t，
在Rt△AHD中，tan∠HAD=

HD

AH

=

1

2

，
即tan∠BAD=

1

2

．
故答案為

1

2

．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)和銳角三角函數(shù)．