【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC=10cm,BD⊥AC于點(diǎn)D,BD=8cm.點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā),沿AC的方向勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)直線PQ由點(diǎn)B出發(fā),沿BA的方向勻速運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)過程中始終保持PQ∥AC,直線PQ交AB于點(diǎn)P、交BC于點(diǎn)Q、交BD于點(diǎn)F.連接PM,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0<t≤5).線段CM的長度記作y,線段BP的長度記作y,y和y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)變化情況如圖所示.

(1)由圖2可知,點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度是每秒   cm,當(dāng)t為何值時(shí),四邊形PQCM是平行四邊形?在圖2中反映這一情況的點(diǎn)是   

(2)設(shè)四邊形PQCM的面積為ycm2,求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式;

(3)是否存在某一時(shí)刻t,使S四邊形PQCM=S△ABC?若存在,求出t的值;若不存在,說明理由;

(4)連接PC,是否存在某一時(shí)刻t,使點(diǎn)M在線段PC的垂直平分線上?若存在,求出此時(shí)t的值;若不存在,說明理由.

【答案】(1)2,E( ,);(2)y= t2﹣8t+40;(3)存在;(4)t= s時(shí),點(diǎn)M在線段PC的垂直平分線上.

【解析】試題分析:(1)先由圖2判斷出點(diǎn)M的速度為2cm/s,PQ的運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s,再由四邊形PQCM為平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到對(duì)邊平行,進(jìn)而得到AP=AM,列出關(guān)于t的方程,求出方程的解得到滿足題意t的值;
(2)根據(jù)PQAC可得PBQ∽△ABC,根據(jù)相似三角形的形狀必然相同可知BPQ也為等腰三角形,即BP=PQ=t,再用含t的代數(shù)式就可以表示出BF,進(jìn)而得到梯形的高PE=DF=8-t,又點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度和時(shí)間可知點(diǎn)M走過的路程AM=2t,所以梯形的下底CM=10-2t.最后根據(jù)梯形的面積公式即可得到yt的關(guān)系式;
(3)根據(jù)三角形的面積公式,先求出三角形ABC的面積,又根據(jù)S四邊形PQCM=SABC,求出四邊形PQCM的面積,從而得到了y的值,代入第二問求出的yt的解析式中求出t的值即可;
(4)假設(shè)存在,則根據(jù)垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等即可得到MP=MC,過點(diǎn)MMH垂直AB,由一對(duì)公共角的相等和一對(duì)直角的相等即可得到AHM∽△ADB,由相似得到對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)而用含t的代數(shù)式表示出AHHM的長,再由AP的長減AH的長表示出PH的長,從而在直角三角形PHM中根據(jù)勾股定理表示出MP的平方,再由AC的長減AM的長表示出MC的平方,根據(jù)兩者的相等列出關(guān)于t的方程進(jìn)而求出t的值.

試題解析:(1)由圖2得,點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度為2cm/s,PQ的運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s,

∵四邊形PQCM是平行四邊形,則PM∥QC,

∴AP:AB=AM:AC,

∵AB=AC,

∴AP=AM,即10﹣t=2t,

解得:t=

∴當(dāng)t=時(shí),四邊形PQCM是平行四邊形,此時(shí),圖2中反映這一情況的點(diǎn)是E(

故答案為:2,E(,).

(2)∵PQ∥AC,

∴△PBQ∽△ABC,

∴△PBQ為等腰三角形,PQ=PB=t,

,即

解得:BF= t,

∴FD=BD﹣BF=8﹣t,

又∵M(jìn)C=AC﹣AM=10﹣2t,

∴y= (PQ+MC)FD=(t+10﹣2t)(8﹣t)=t2﹣8t+40;

(3)存在;

∵S△ABC=ACBD=×10×8=40,

當(dāng)S四邊形PQCM=S△ABC時(shí),y= t2﹣8t+40=20,

解得:t=10﹣5 ,或t=10+5(不合題意,舍);

即:t=10﹣5時(shí),S四邊形PQCM=S△ABC

(4)假設(shè)存在某一時(shí)刻t,使得M在線段PC的垂直平分線上,則MP=MC,

過M作MH⊥AB,交AB與H,如圖所示:

∵∠A=∠A,∠AHM=∠ADB=90°,

∴△AHM∽△ADB,

又∵AD=6,

∴HM= t,AH=t,

∴HP=10﹣t﹣t=10﹣t,

在Rt△HMP中,MP2=(t)2+(10﹣t)2=t2﹣44t+100,

又∵M(jìn)C2=(10﹣2t)2=100﹣40t+4t2

∵M(jìn)P2=MC2,

t2﹣44t+100=100﹣40t+4t2,

解得 t1= ,t2=0(舍去),

∴t=s時(shí),點(diǎn)M在線段PC的垂直平分線上.

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(1) .(用 的代數(shù)式表示)


(2) 當(dāng) 為何值時(shí),
(3)當(dāng)點(diǎn) 從點(diǎn) 開始運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn) 從點(diǎn) 出發(fā),以 v 的速度沿 向點(diǎn) 運(yùn)動(dòng),是否存在這樣的v 值,使得 全等?若存在,請(qǐng)求出 v的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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