Question

如圖，P是矩形ABCD內(nèi)的任意一點(diǎn)，連接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，設(shè)它們的面積分別是S₁、S₂、S₃、S₄，給出如下結(jié)論：
①S₁+S₄=S₂+S₃；
②S₂+S₄=S₁+S₃；
③若S₃=2S₁，則S₄=2S₂；
④若S₁=S₂，則P點(diǎn)在矩形的對(duì)角線上．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是

 

（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線上）．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得AB=CD，AD=BC，設(shè)點(diǎn)P到AB、BC、CD、DA的距離分別為h₁、h₂、h₃、h₄，然后利用三角形的面積公式列式整理即可判斷出②正確；根據(jù)S₁、S₃，只能判斷出點(diǎn)P到AB、CD的距離，無法對(duì)S₂、S₄的大小作出判斷可得③錯(cuò)誤；根據(jù)④求出h₁、h₂的比，然后作出判斷即可．

解答：解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，
設(shè)點(diǎn)P到AB、BC、CD、DA的距離分別為h₁、h₂、h₃、h₄，
則S₁=

1

2

ABh₁，S₂=

1

2

BCh₂，S₃=

1

2

CDh₃，S₄=

1

2

ADh₄，
∵

1

2

ABh₁+

1

2

CDh₃=

1

2

AB•BC，

1

2

BCh₂+

1

2

ADh₄=

1

2

AB•CD，
∴S₂+S₄=S₁+S₃，故①錯(cuò)誤，②正確；
③若S₃=2S₁，則2h₁=h₃，
S₂、S₄的大小無法判斷，故本小題錯(cuò)誤；
④若S₁=S₂，則

1

2

ABh₁=

1

2

BCh₂，
∴

h1

h2

=

BC

AB

，
∴點(diǎn)P在對(duì)角線BD上，故④正確；
綜上所述，正確的結(jié)論是②④．
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形的面積，以及矩形對(duì)角線上點(diǎn)的判定，用矩形的面積表示出相對(duì)的兩個(gè)三角形的面積的和是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．