Question

在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，0），以OA為邊在第一象限內(nèi)作等邊△OAB，C為x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（OC＞1），連接BC，以BC為邊在第一象限內(nèi)作等邊△BCD，直線DA交y軸于E點(diǎn)．

（1）如圖，當(dāng)C點(diǎn)在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)AC＝x，請(qǐng)用x表示線段AD的長(zhǎng)；

（2）隨著C點(diǎn)的變化，直線AE的位置變化嗎？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，請(qǐng)求出直線AE的解析式．

（3）以線段BC為直徑作圓，圓心為點(diǎn)F，

①當(dāng)C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)直線EF∥直線BO？此時(shí)⊙F和直線BO的位置關(guān)系如何？請(qǐng)說明理由．

②G為CD與⊙F的交點(diǎn)，H為直線DF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)HG、HC，求HG＋HC的最小值，并將此最小值用x表示．

Answer 1

解：（1）∵△OAB和△BCD都為等邊三角形，∴OB=AB，BC=BD，∠OBA=∠DBC=60°，即∠OBA+∠ABC=∠DBC+∠ABC，∴∠OBC=∠ABD，∴△OBC≌△ABD，∴AD=OC=1+x；

（2）隨著C點(diǎn)的變化，直線AE的位置不變．理由如下：

由△OBC≌△ABD，得到∠BAD=∠BOC=60°，又∵∠BAO=60°，∴∠DAC=60°，

∴∠OAE=60°，又OA=1，

在直角三角形AOE中， OE=，點(diǎn)E坐標(biāo)為（0，﹣），A（1，0），

設(shè)直線AE解析式為y=kx+b，把E和A的坐標(biāo)代入得：，

解得：，

所以直線AE的解析式為y=x﹣；

（3）根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：∵∠BOA=∠DAC=60°，EA∥OB，又EF∥OB，

則EF與EA所在的直線重合，∴點(diǎn)F為DE與BC的交點(diǎn)，又F為BC中點(diǎn)，∴A為OC中點(diǎn)，又AO=1，則OC=2，∴當(dāng)C的坐標(biāo)為（2，0）時(shí)，EF∥OB；這時(shí)直線BO與⊙F相切，理由如下：

∵△BCD為等邊三角形，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，∴DF⊥BC，又EF∥OB，∴FB⊥OB，即∠FBO=90°，

故直線BO與⊙F相切；