Question

【題目】如圖1，，平分，以為頂點(diǎn)作，交于點(diǎn)，于點(diǎn)E.

（1）求證：；

（2）圖1中，若，求的長；

（3）如圖2，，平分，以為頂點(diǎn)作，交于點(diǎn)，于點(diǎn).若，求四邊形的面積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）OD+OE =；（3）

【解析】

（1）過點(diǎn)C作CG⊥OA于G,CH⊥OB于H，然后根據(jù)題意利用AAS定理進(jìn)行證明△CDG ≌ △CEH，從而求解；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OD+OE =2OH，然后利用勾股定理求OH的值，從而求解；

（3）過點(diǎn)C作CG⊥OA于G,CH⊥OB于H，然后根據(jù)題意利用AAS定理進(jìn)行證明△CDG ≌ △CEH，從而求得==2，然后利用含30°的直角三角形性質(zhì)求得OH=,CH=從而求得三角形面積，使問題得到解決.

解：（1）如圖,過點(diǎn)C作CG⊥OA于G,CH⊥OB于H，

∵平分

∴CG =CH

∵,

∴∠CDO+∠CEO=180

∵∠CDG+∠CDO=180

∴∠CDG =∠CEO

在△CDG與△CEH中

∴△CDG ≌ △CEH(AAS)

∴

(2)由（1）得△CDG ≌ △CEH

∴DG=HE

由題易得△OCG與△OCH是全等的等腰直角三角形，且OG=OH

∴OD+OE=OD+OH+HE=OG+OH=2OH

設(shè)OH=CH=x，在Rt△OCH中，由勾股定理，得:

OH2+CH2=OC2

∴

∴(舍負(fù))

∴OH =

∴OD+OE =2OH=

（3）如圖,過點(diǎn)C作CG⊥OA于G,CH⊥OB于H，

∵平分

∴CG =CH

∵,

∴∠CDO+∠CEO=180

∵∠CDG+∠CDO=180

∴∠CDG =∠CEO

在△CDG與△CEH中

∴△CDG ≌ △CEH(AAS)

∴DG=HE

由題易得△OCG與△OCH是全等的直角三角形,且OG=OH

∴OD+OE=OD+OH+HE=OG+OH=2OH

∴==2

在Rt△OCH中,有∠COH=60°,OC=3，

∴OH=,CH=

∴

∴=2=