Question

拋物線y=ax²+bx+c的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)M（x₁，0），N（x₂，0），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，1），其中0＜x₁＜x₂．過(guò)點(diǎn)A的直線l與x軸交于點(diǎn)C，與拋物線交于點(diǎn)B（異于點(diǎn)A），滿足△CAN是等腰直角三角形，且S_△BMN=

5

2

S_△AMN．求該拋物線的解析式

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：由點(diǎn)A（0，1）及△CAN是等腰直角三角形，可知C（-1，0），N（1，0），由A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)可求直線AB，由S_△BMN=

5

2

S_△AMN，可知B點(diǎn)縱坐標(biāo)為

5

2

，代入直線AB解析式可求B點(diǎn)橫坐標(biāo)，將A、B、N三點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax²+bx+c中，可求拋物線解析式．

解答：解：如圖，由拋物線經(jīng)過(guò)A（0，1），M（x₁，0），N（x₂，0），
其中0＜x₁＜x₂，
可知拋物線開(kāi)口向上，與x軸兩交點(diǎn)在正半軸，
∵點(diǎn)A（0，1），△CAN是等腰直角三角形，∴C（-1，0），N（1，0），
設(shè)直線AB解析式為y=mx+n，
將A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，得

n=1 -m+n=0

，解得

m=1 n=1

，
直線AB解析式為y=x+1，
∵S_△BMN=

5

2

S_△AMN，兩三角形同底MN，△AMN的高為1，
∴△BMN的高為

5

2

，即B點(diǎn)縱坐標(biāo)為

5

2

，把y=

5

2

代入y=x+1中，得x=

3

2

，
即B（

3

2

，

5

2

），
把A、B、N三點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax²+bx+c中，得

c=1 9 4 a+ 3 2 b+c= 5 2 a+b+c=0

，
解得

a=4 b=-5 c=1

，
所以，拋物線解析式為y=4x²-5x+1，
故答案為：y=4x²-5x+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)已知條件判斷拋物線開(kāi)口方向及大致位置，根據(jù)特殊三角形求直線解析式，根據(jù)面積法求B點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線解析式．