Question

已知：△ABC中，∠A=2∠B，且三角形較大的兩邊長為5，6，設(shè)符合條件的三角形的另一邊長為m，則m的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形邊角關(guān)系

專題：計(jì)算題

分析：延長BA到D，使AD=AC，求出∠D=∠ACD=∠B，推出△ACD∽△CBD，推出a²=b²+bc，分為兩種情況：①當(dāng)a=5，c=6時(shí)，得出b²+6b=25，求出b，②當(dāng)a=6，c=5時(shí)得出b²+5b=36，求出b，③當(dāng)a=6，b=5時(shí)，36=25+5c，求出c，比較即可得出答案．

解答：解：設(shè)BC=a，AB=c，AC=b，
延長BA到D，使AD=AC，
∵AD=AC，
∴∠D=∠ACD，
∴∠CAB=∠D+∠DCA=2∠CDA，
∵∠CAB=2∠B，
∴∠B=∠ACD，
∵∠D=∠D，
∴△ACD∽△CBD，
∴

a

b+c

=

b

a

，
即a²=b²+bc，
當(dāng)a=5，c=6時(shí)，b²+6b=25，
解得：b=

34

-3，
當(dāng)a=6，c=5時(shí)，b²+5b=36，
解得：b=4，b=-9（舍去），
當(dāng)a=6，b=5時(shí)，36=25+5c，
c=

11

5

（舍去），
∵4＞

34

-3，
∴m的最大值是4，
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系、相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目，但有一定的難度，注意要進(jìn)行分類討論．