Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線AB分別與x軸、y軸相交于A，B兩點，OA、OB的長分別是方程x²-14x+48=0的兩根，且OA＜OB．
（1）求點A，B的坐標．
（2）過點A作直線AC交y軸于點C，∠1是直線AC與x軸相交所成的銳角，sin∠1=

3

5

，求直線AC的解析式．
（3）若點M（m，m-5）在△AOC的內(nèi)部，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）解關(guān)于x的一元二次方程，得到OA、OB的長度，然后寫出坐標即可；
（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)設(shè)OC=3k，AC=5k，再利用勾股定理列式求出k，從而得到OC的長度，再寫出點C的坐標，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答；
（3）根據(jù)點M在△AOC的內(nèi)部列出不等式求解即可．

解答：解：（1）因式分解得，（x-6）（x-8）=0，
所以，x-6=0，x-8=0，
解得x₁=6，x₂=8，
∵OA＜OB，
∴OA=6，OB=8，
∴點A（6，0），B（0，8）；

（2）∵sin∠1=

3

5

，∠1=∠COA，
∴設(shè)OC=3k，AC=5k，
由勾股定理得，OC²+OA²=AC²，
即（3k）²+6²=（5k）²，
解得k=

3

2

，
∴OC=3k=3×

3

2

=

9

2

，
∴點C（0，-

9

2

），
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
則

6k+b=0 b=- 9 2

，
解得

k= 3 4 b=- 9 2

，
所以，直線AC的解析式為y=

3

4

x-

9

2

；

（3）∵點M（m，m-5）在△AOC的內(nèi)部，
∴

m-5＜0① m-5＞ 3 4 m- 9 2 ②

，
解不等式①得，m＜5，
解不等式②得，m＞2，
∴m的取值范圍2＜m＜5．

點評：本題是一次函數(shù)綜合題，主要利用了一元二次方程的解法，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，銳角三角函數(shù)，勾股定理，一元一次不等式組的解法，（2）利用勾股定理列出方程然后求出OC的長度是解題的關(guān)鍵，（3）難點在于理解題意并列出不等式組．