Question

如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC為斜邊向外作等腰直角三角形，其面積分別為S₁，S₂，S₃，且S₁+S₃=4S₂，若將梯形上底AB沿BC方向平移至下底CD上的CE處，連AE，則下列結(jié)論：
①AE∥BC；②AE=BC；③

AB

DC

=

1

2

；④

DC2-AD2-BC2

AB2

=5．
其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、4個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：梯形,勾股定理,等腰直角三角形

專題：

分析：①由平移的性質(zhì)，即可得AE∥BC；
②易得四邊形ABCE是平行四邊形，則可得AE=BC；
③分別用斜邊AD、AB、BC把S₁、S₂、S₃表示出來，然后根據(jù)S₁+S₃=4S₂求出AD、AB、BC之間的關(guān)系．可得△ADE是直角三角形，利用勾股定理即可發(fā)現(xiàn)CD和AB之間的關(guān)系．
④由③即可求得

DC2-AD2-BC2

AB2

=5．

解答：解：①如圖，根據(jù)平移的性質(zhì)，可得AE∥BC，故①正確；

②∵AB∥CD，AE∥BC，
∴四邊形ABCE是平行四邊形，
∴AE=BC，故②正確；

③解：∵以AD、AB、BC為斜邊向外作等腰直角三角形，其面積分別是S₁、S₂、S₃，
∴S₁=

AD2

4

，S₂=

AB2

4

，S₃=

BC2

4

，
∵S₁+S₃=4S₂，
∴AD²+BC²=4AB²，
∵AE=BC，EC=AB，
∵∠ADC+∠BCD=90°，
∴∠ADC+∠AED=90°，
∴AD²+AE²=DE²，
∴AD²+BC²=DE²，
∴DE²=4AB²，
∴DE=2AB，
∴CD=3AB．
∴

AB

DC

=

1

3

，故③錯(cuò)誤；

④∵AD²+BC²=4AB²，CD=3AB，
∴

DC2-AD2-BC2

AB2

=

9AB2-4AB2

AB2

=5．
故④正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及等腰直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．