Question

1960年，數(shù)學家證明存在一個正整數(shù)n，使得133⁵+110⁵+84⁵+27⁵=n⁵，推翻了數(shù)學家歐拉的一個猜想．請你求出n的值．

Answer 1

考點：整數(shù)問題的綜合運用

專題：綜合題

分析：分以下幾步解決問題：①先對n進行初步估值，133＜n＜200；②求出n的個位數(shù)，133⁵+110⁵+84⁵+27⁵的個位數(shù)字與133+110+84+27的個位數(shù)字相同；③確定n的十位數(shù)，根據(jù)同余定理，分別對3和7去除，利用余數(shù)探討得出答案即可．

解答：解：①先對n進行初步估值，
133⁵+110⁵+84⁵+27⁵=n⁵，
∵133⁵＜10×100⁵，110⁵＜10×100⁵，84⁵＜1×100⁵，27⁵＜1×100⁵，
∴133⁵+110⁵+84⁵+27⁵＜22×100⁵＜200⁵，
∴133＜n＜200；
②求出n的個位數(shù)
133⁵+110⁵+84⁵+27⁵=n⁵，
由乘方末尾數(shù)字的循環(huán)規(guī)律可知：
（133⁵+110⁵+84⁵+27⁵）的末尾數(shù)字與（133+110+84+27）的末尾數(shù)字相同是4；
③求n的十位數(shù)
由結論①，等式兩邊對3同余，
∴133⁵+110⁵+84⁵+27⁵≡n⁵（mod3），
而133⁵+110⁵+84⁵+27⁵≡1⁵+2⁵+0⁵+0⁵≡0（mod3），
∴n⁵能被3整除，
∴n能被3整除，
∴n=144或174，
仍由結論①，等式兩邊對7同余，
而133⁵+110⁵+84⁵+27⁵≡0⁵+5⁵+0⁵+6⁵≡2（mod7），
∴n⁵≡2（mod7），
又∵144⁵≡2（mod7）；174⁵≡4（mod7），
∴n=144．

點評：此題考查整數(shù)的綜合運算，注意抓住數(shù)字的特點，靈活運用估算，乘方的末尾數(shù)字規(guī)律，以及同余的知識探究得出答案即可．