Question

在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，E、F分別是AD、BC上兩點(diǎn)，并且AC垂直平分EF，垂足為O．
（1）連接AF、CE．說明四邊形AFCE為菱形；
（2）求AF的長．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì),菱形的判定

專題：

分析：（1）首先證明△AOE≌△COE，進(jìn)而得出EO=OF，得出四邊形AFCE是平行四邊形，即可利用菱形的判定得出答案；
（2）設(shè)AF=FC=x，則BF=8-x，在Rt△ABF中利用勾股定理得到方程4²+（8-x）²=x²，求得x的值即可．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAC=∠ACF，
∵EF平分AC，
∴AO=OC，
在△AOE和△COE中，

∠EAC=∠ACF AO=CO ∠AOE=∠COF

，
∴△AOE≌△COE，
∴EO=OF，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∵EF⊥AC，
∴四邊形AFCE是菱形．

（2）設(shè)AF=FC=x，
則BF=8-x；
在Rt△ABF中，
AB²+BF²=AF²，
即：4²+（8-x）²=x²，
解得：x=5，
∴AC的長為5cm．

點(diǎn)評：本題考查了矩形的性質(zhì)及菱形的判定，特別是在求線段AC的長時(shí)，采用了方程的數(shù)學(xué)思想，難度適中．