Question

如圖（1），拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0）．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）①若點(diǎn)D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥x軸于E，連接CD，以O(shè)E為直徑作⊙M，如圖（2），試求當(dāng)CD與⊙M相切時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)；

②點(diǎn)F是x軸上的動點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)G，使A、C、G、F四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

 

 

Answer 1

（1）；

（2）①（，）；②存在，（4，3）或（）或（）.

【解析】

試題分析：（1）把A的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，即可得到關(guān)于c的方程，求的c的值，則拋物線的解析式即可求解.

（2）①連接MC、MD，證明△COM∽△MED，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求解.

②分四種情況進(jìn)行討論，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求解．

試題解析：【解析】
（1）∵點(diǎn)A（﹣2，0）在拋物線上，

∴，解得c=3.

∴拋物線的解析式是：.

（2）①令D（x，y）,（x＞0，y＞0），則E（x，0），M（，0），

由（1）知C（0，3），

如答圖1，連接MC、MD

∵DE、CD與⊙O相切，∴∠CMD=90°.

∴△COM∽△MED. ∴，即.

又∵，∴，解得x=.

又∵x＞0，∴x=，∴.

∴D點(diǎn)的坐標(biāo)是：（，）.

②假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)G（a，b）.

若構(gòu)成的四邊形是□ACGF，（答圖2）則G與C關(guān)于直線x=2對稱，

∴G點(diǎn)的坐標(biāo)是：（4，3）.

若構(gòu)成的四邊形是□ACFG，（答圖3，4）則由平行四邊形的性質(zhì)有b=，

又∵，解得a=，此時(shí)G點(diǎn)的坐標(biāo)是：（）.

若構(gòu)成的四邊形是□AGCF，（答圖5）則CGFA，

∴G點(diǎn)的坐標(biāo)是：（4，3）.

顯而易見，AFCG不能構(gòu)成平行四邊形.

綜上所述，在拋物線上存在點(diǎn)G，使A、C、G、F四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（4，3）或（）或（）.

考點(diǎn)：1.單動點(diǎn)問題；2.二次函數(shù)綜合題；3.曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；4.直線與圓相切的性質(zhì)；5.相似三角形的判定和性質(zhì)；6. 平行四邊形的性質(zhì)；7.分類思想的應(yīng)用．