Question

【題目】如圖，已知拋物線(xiàn)y＝﹣x2＋bx＋c交y軸于點(diǎn)A（0,4），交x軸于點(diǎn)B（4,0），點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)PQ，過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥PQ于點(diǎn)Q，連接AP．

（1）填空：拋物線(xiàn)的解析式為 ，點(diǎn)C的坐標(biāo) ；

（2）點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，若△AQP∽△AOC，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2＋3x＋4，（－1,0）（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，）

【解析】分析：（1）把A、B的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式，即可求得b、c的值，從而得到拋物線(xiàn)的解析式．令y=0，解方程可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)．

（2）由點(diǎn)A、點(diǎn)C的坐標(biāo)，得到．設(shè)P（m， ﹣m2＋3m＋4）．分兩種情況討論：

①當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)AQ下方時(shí)，QP＝4－（﹣m2＋3m＋4）＝ m2－3m，

由△AQP∽△AOC得：，即：，解方程即可得到結(jié)論．

當(dāng)時(shí)，﹣m2＋3m＋4＝，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）；

②當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)AQ上方時(shí)，PQ＝﹣m2＋3m＋4－4＝﹣m2＋3m，

由△AQP∽△AOC得：，即：，解方程即可得到結(jié)論．

詳解：（1）∵拋物線(xiàn)y＝﹣x2＋bx＋c交y軸于點(diǎn)A（0，4），交x軸于點(diǎn)B（4，0），

∴，解得：，∴拋物線(xiàn)的解析式為：y＝﹣x2＋3x＋4．

令y=0，得：﹣x2＋3x＋4=0，解得：x=4或x=－1，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（－1，0）．

（2）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（－1，0），∴．

∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，∴P（m， ﹣m2＋3m＋4）．

①當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)AQ下方時(shí)，QP＝4－（﹣m2＋3m＋4）＝ m2－3m，

由△AQP∽△AOC得：，即：，

∴（舍去）或．

當(dāng)時(shí)，﹣m2＋3m＋4＝，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）；

②當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)AQ上方時(shí)，PQ＝﹣m2＋3m＋4－4＝﹣m2＋3m，

由△AQP∽△AOC得：，即：，

∴ ＝0（舍去）或＝，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（）．

綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）或（）．