Question

【題目】如圖，ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，且∠ADC=60°，AB= BC，連接OE．下列結(jié)論：①∠CAD=30°；②SABCD=ABAC；③OB=AB；④OE= BC，成立的個(gè)數(shù)有（ ）

A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)

Answer 1

【答案】C
【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠EAD=60°

∴△ABE是等邊三角形，

∴AE=AB=BE，

∵AB= BC，

∴AE= BC，

∴∠BAC=90°，

∴∠CAD=30°，故①正確；

∵AC⊥AB，

∴SABCD=ABAC，故②正確，

∵AB= BC，OB= BD，

∵BD＞BC，

∴AB≠OB，故③錯(cuò)誤；

∵CE=BE，CO=OA，

∴OE= AB，

∴OE= BC，故④正確．

故答案為：C．
首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，然后結(jié)合條件AE平分∠BAD，可得到∠BAE=∠EAD=60°，故此可證明△ABE是等邊三角形，由于AB=BC，得到AE=BC，得到△ABC是直角三角形，于是得到∠CAD=30°，故①正確；因?yàn)锳C⊥AB，所以依據(jù)平行四邊形的面積公式可得到SABCD=ABAC，故②正確，然后由AB=BC，OB=BD，且BD＞BC，可證明AB≠OB，故③錯(cuò)誤；接下來，依據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)定理證明OE=AB，于是得到OE=BC，故④正確．