【題目】如圖1,△ABC和△DCE都是等邊三角形.
探究發(fā)現(xiàn)
(1)△BCD與△ACE是否全等?若全等,加以證明;若不全等,請(qǐng)說(shuō)明理由.
拓展運(yùn)用
(2)若B、C、E三點(diǎn)不在一條直線(xiàn)上,∠ADC=30°,AD=3,CD=2,求BD的長(zhǎng).
(3)若B、C、E三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上(如圖2),且△ABC和△DCE的邊長(zhǎng)分別為1和2,求△ACD的面積及AD的長(zhǎng).
【答案】(1)全等,理由見(jiàn)解析;(2)BD=;(3)△ACD的面積為,AD=.
【解析】
(1)依據(jù)等式的性質(zhì)可證明∠BCD=∠ACE,然后依據(jù)SAS可證明△ACE≌△BCD;
(2)由(1)知:BD=AE,利用勾股定理計(jì)算AE的長(zhǎng),可得BD的長(zhǎng);
(3)過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD于F,先根據(jù)平角的定義得∠ACD=60°,利用特殊角的三角函數(shù)可得AF的長(zhǎng),由三角形面積公式可得△ACD的面積,最后根據(jù)勾股定理可得AD的長(zhǎng).
解:(1)全等,理由是:
∵△ABC和△DCE都是等邊三角形,
∴AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,
即∠BCD=∠ACE,
在△BCD和△ACE中,
,
∴△ACE≌△BCD(SAS);
(2)如圖3,由(1)得:△BCD≌△ACE,
∴BD=AE,
∵△DCE都是等邊三角形,
∴∠CDE=60°,CD=DE=2,
∵∠ADC=30°,
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=30°+60°=90°,
在Rt△ADE中,AD=3,DE=2,
∴,
∴BD=;
(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD于F,
∵B、C、E三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上,
∴∠BCA+∠ACD+∠DCE=180°,
∵△ABC和△DCE都是等邊三角形,
∴∠BCA=∠DCE=60°,
∴∠ACD=60°,
在Rt△ACF中,sin∠ACF=,
∴AF=AC×sin∠ACF=,
∴S△ACD=,
∴CF=AC×cos∠ACF=1×,FD=CD﹣CF=,
在Rt△AFD中,AD2=AF2+FD2=,
∴AD=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)O為直線(xiàn)AB外一定點(diǎn),點(diǎn)P線(xiàn)段AB上一動(dòng)點(diǎn),在直線(xiàn)OP右側(cè)作Rt△OPQ,使得∠OPQ=30°,已知AB=3,當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí),點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在中,是邊上的一點(diǎn),是的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作的平行線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn),且,連接.
(1)求證:是的中點(diǎn);
(2)如果,試判斷四邊形的形狀,并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】年月日是第個(gè)世界讀書(shū)日,這一天世界各地都會(huì)舉辦諸多與閱讀有關(guān)的活動(dòng).某書(shū)店為了迎接“讀書(shū)節(jié)”制定了活動(dòng)計(jì)劃,以下是活動(dòng)計(jì)劃書(shū)的部分信息.
“讀書(shū)節(jié)”活動(dòng)計(jì)劃書(shū) | ||
書(shū)本類(lèi)別 | 類(lèi) | 類(lèi) |
進(jìn)價(jià)(單位:元) | 18 | 12 |
備注 | 用不超過(guò)16800元購(gòu)進(jìn)、兩類(lèi)圖書(shū)共1000本; 類(lèi)圖書(shū)不少于600本; |
(1)陳經(jīng)理查看計(jì)劃書(shū)發(fā)現(xiàn):類(lèi)圖書(shū)的標(biāo)價(jià)是類(lèi)圖書(shū)標(biāo)價(jià)的倍,若顧客用元購(gòu)買(mǎi)圖書(shū),能單獨(dú)購(gòu)買(mǎi)類(lèi)圖書(shū)的數(shù)量恰好比單獨(dú)購(gòu)買(mǎi)類(lèi)圖書(shū)的數(shù)量少本.請(qǐng)求出、兩類(lèi)圖書(shū)的標(biāo)價(jià).
(2)經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查后,陳經(jīng)理發(fā)現(xiàn)他們高估了“讀書(shū)節(jié)”對(duì)圖書(shū)銷(xiāo)售的影響,便調(diào)整了銷(xiāo)售方案:類(lèi)圖書(shū)每本按標(biāo)價(jià)降價(jià)元銷(xiāo)售, 類(lèi)圖書(shū)價(jià)格不變.那么書(shū)店應(yīng)如何進(jìn)貨才能獲得最大利潤(rùn)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在中,AB為的直徑,C為上一點(diǎn),P是的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作AC的垂線(xiàn),交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D.
(1)求證:DP是的切線(xiàn);
(2)若AC=5,,求AP的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,菱形ABCD的頂點(diǎn)B、D在反比例函數(shù)y═(k>0)的圖象上,對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于坐標(biāo)原點(diǎn)O,若點(diǎn)A(﹣1,2),菱形的邊長(zhǎng)為5,則k的值是( 。
A.4B.8C.12D.16
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某數(shù)學(xué)小組對(duì)函數(shù)y1=圖象和性質(zhì)進(jìn)行探究.當(dāng)x=4時(shí),y1=0.
(1)當(dāng)x=5時(shí),求y1的值;
(2)在給出的平面直角坐標(biāo)系中,補(bǔ)全這個(gè)函數(shù)的圖象,并寫(xiě)出這個(gè)函數(shù)的一條性質(zhì);
(3)進(jìn)一步探究函數(shù)圖象并解決問(wèn)題:已知函數(shù)y2=﹣的圖象如圖所示,結(jié)合函數(shù)y1的圖象,直接寫(xiě)出不等式y1≥y2的解集.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】用各種盛水容器可以制作精致的家用流水景觀(guān)(如圖1).
科學(xué)原理:如圖2,始終盛滿(mǎn)水的圓體水桶水面離地面的高度為H(單位:m),如果在離水面豎直距離為h(單校:cm)的地方開(kāi)大小合適的小孔,那么從小孔射出水的射程(水流落地點(diǎn)離小孔的水平距離)s(單位:cm)與h的關(guān)系為s2=4h(H—h).
應(yīng)用思考:現(xiàn)用高度為20cm的圓柱體望料水瓶做相關(guān)研究,水瓶直立地面,通過(guò)連注水保證它始終盛滿(mǎn)水,在離水面豎直距高h cm處開(kāi)一個(gè)小孔.
(1)寫(xiě)出s2與h的關(guān)系式;并求出當(dāng)h為何值時(shí),射程s有最大值,最大射程是多少?
(2)在側(cè)面開(kāi)兩個(gè)小孔,這兩個(gè)小孔離水面的豎直距離分別為a,b,要使兩孔射出水的射程相同,求a,b之間的關(guān)系式;
(3)如果想通過(guò)墊高塑料水瓶,使射出水的最大射程增加16cm,求整高的高度及小孔離水面的豎直距離.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線(xiàn)y=2x+2和直線(xiàn)y=x+2分別交x軸于點(diǎn)A和點(diǎn)B.則下列直線(xiàn)中,與x軸的交點(diǎn)不在線(xiàn)段AB上的直線(xiàn)是( 。
A.y=x+2B.y=x+2C.y=4x+2D.y=x+2
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