Question

【題目】在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AC、BC上（不與點(diǎn)A、B、C重合），點(diǎn)P是直線AB上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合）．設(shè)∠PDA=x，∠PEB=y，∠DPE=m，∠C=n．

（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，且n=90°時(shí)

①若PD∥BC，PE∥AC，則m=_____；

②若m=50°，求x+y的值．

（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫出x、y、m、n之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）①90°，②140°；（2）詳見解析.

【解析】分析：（1）①證明四邊形DPEC為平行四邊形可得結(jié)論；
②根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°，列等式求出x+y的值；
（2）根據(jù)P、D、E位置的不同，分五種情況：①y-x=m+n，如圖2，點(diǎn)P在BA的延長線上時(shí)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和與外角定理列等式，化簡后得出結(jié)論；
②x-y=m-n，如圖3，點(diǎn)P在BA的延長線上時(shí)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和與外角定理列等式，化簡后得出結(jié)論；
③x+y=m+n，如圖4，點(diǎn)P在線段BA上時(shí)，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°列等式，化簡后得出結(jié)論；
④x-y=m+n，如圖5，同理得出結(jié)論；
⑤y-x=m-n，如圖6，同理得出結(jié)論．

詳解：（1）①如圖1，

∵PD∥BC，PE∥AC，
∴四邊形DPEC為平行四邊形，
∴∠DPE=∠C，
∵∠DPE=m，∠C=n=90°，
∴m=90°；
②∵∠ADP=x，∠PEB=y，
∴∠CDP=180°-x，∠CEP=180°-y，
∵∠C+∠CDP+∠DPE+∠CEP=360°，
∠C=90°，∠DPE=50°，
∴90°+180°-x+50°+180°-y=360°，
∴x+y=140°；

（2）分五種情況：

①y﹣x=m+n，如圖2，

理由是：

∵∠DFP=n+∠FEC，∠FEC=180°﹣y，

∴∠DFP=n+180°﹣y，

∵x+m+∠DFP=180°，

∴x+m+n+180°﹣y=180°，

∴y﹣x=m+n；

②x﹣y=m﹣n，如圖3，

理由是：

同理得：m+180°﹣x=n+180°﹣y，

∴x﹣y=m﹣n；

③x+y=m+n，如圖4，

理由是：

由四邊形內(nèi)角和為360°得：180°﹣x+m+180°﹣y+n=360°，

∴x+y=m+n；

④x﹣y=m+n，如圖5，

理由是：

同理得：180°=m+n+y+180°﹣x，

∴x﹣y=m+n；

⑤y﹣x=m﹣n，如圖6，

理由是：

同理得：n+180°﹣x=m+180°﹣y，

∴y﹣x=m﹣n．