Question

已知拋物線y=（a-1）x²-2（a-2）x+a（a為常數(shù)），當(dāng)a為何值時(shí)：
（1）拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)；
（2）拋物線的頂點(diǎn)在數(shù)軸上；
（3）拋物線在x軸上截得的線段長為4．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：代數(shù)綜合題,分類討論

分析：（1）根據(jù)拋物線的解析式求得對稱軸方程為：x=

2(a-2)

a-1

，則

2(a-2)

a-1

＞0，通過解該不等式來去a的取值范圍；
（2）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式列出關(guān)于a的方程．注意需要分類討論：在x軸、y軸、原點(diǎn)三種情況；
（3）由根與系數(shù)的關(guān)系列出方程．

解答：解：（1）∵拋物線解析式為y=（a-1）x²-2（a-2）x+a（a為常數(shù)），
∴對稱軸方程為：x=

2(a-2)

2(a-1)

，則

2(a-2)

2(a-1)

＞0，
∴

a-2＞0 a-1＞0

或

a-2＜0 a-1＜0

，
解得a＞2或a＜1；

（2）①當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)在x軸上時(shí)，由拋物線解析式y(tǒng)=（a-1）x²-2（a-2）x+a（a為常數(shù)），得

4(a-1)a-4(a-2)2

4(a-1)

=0，即-4+3a=0，
解得a=

4

3

；
②當(dāng)頂點(diǎn)在y軸上時(shí)，x=

2(a-2)

2(a-1)

=0，
解得，a=2；
③當(dāng)頂點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，0=a，即a=0；

（3）令y=0，則（a-1）x²-2（a-2）x+a=0．
設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a、b，則
a+b=

2(a-2)

a-1

，ab=

a

a-1

，
∴（a-b）²=（a+b）²-4ab=

4(a-2)2

(a-1)2

-

4a

a-1

=16，
整理，得
a（4a-5）=0
解得，a=0或a=

5

4

．

點(diǎn)評：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)．（2）題屬于易錯(cuò)題，題目要求是“拋物線的頂點(diǎn)在數(shù)軸上”，所以應(yīng)該分類討論：x軸、y軸、原點(diǎn)三種情況．同學(xué)們在解題時(shí)，往往忽略了頂點(diǎn)在原點(diǎn)的這一情況．